Punto de una recta, vectores paralelos a planos y producto vectorial

**a) Hallar un punto $B$ de la recta $r$ de forma que el vector $\vec{AB}$ sea paralelo al plano $\pi \equiv x + 2z = 0$. (1,5 puntos)** Primero, expresamos la recta $r$ en su forma paramétrica para poder representar un punto genérico $B$ que pertenezca a ella. La ecuación continua es $\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{2}$. Igualando cada fracción a un parámetro $\lambda$, obtenemos las ecuaciones paramétricas de $r$: $$\begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 1 + 2\lambda \end{cases}$$ Por lo tanto, cualquier punto $B$ que pertenezca a la recta $r$ tendrá la siguiente forma en función de $\lambda$: $$\boxed{B(1+2\lambda, 1+\lambda, 1+2\lambda)}$$ 💡 **Tip:** Pasar una recta de su forma continua a la paramétrica es el paso más útil cuando necesitamos encontrar un punto concreto de dicha recta que cumpla una condición específica.

Calculamos las coordenadas del vector $\vec{AB}$ restando las coordenadas del punto inicial $A(1,2,4)$ a las del punto genérico $B$: $$\vec{AB} = B - A = (1+2\lambda - 1, 1+\lambda - 2, 1+2\lambda - 4)$$ Simplificando término a término: $$\vec{AB} = (2\lambda, \lambda-1, 2\lambda-3)$$ Este vector $\vec{AB}$ depende del valor de $\lambda$, es decir, de qué punto $B$ de la recta elijamos.

Para que el vector $\vec{AB}$ sea **paralelo** al plano $\pi \equiv x + 2z = 0$, el vector debe ser **perpendicular** al vector normal del plano, $\vec{n}_\pi$. Identificamos el vector normal del plano $\pi$ a partir de los coeficientes de $x, y, z$: $$\vec{n}_\pi = (1, 0, 2)$$ La condición de perpendicularidad entre dos vectores es que su producto escalar sea igual a cero: $$\vec{AB} \cdot \vec{n}_\pi = 0$$ $$(2\lambda, \lambda-1, 2\lambda-3) \cdot (1, 0, 2) = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un vector es paralelo a un plano si es ortogonal a su dirección normal. No confundas esto con la condición de paralelismo entre dos planos o dos rectas.

Resolvemos el producto escalar para hallar el valor de $\lambda$: $$(2\lambda)\cdot 1 + (\lambda-1)\cdot 0 + (2\lambda-3)\cdot 2 = 0$$ $$2\lambda + 0 + 4\lambda - 6 = 0$$ $$6\lambda = 6 \implies \lambda = 1$$ Ahora que conocemos el valor de $\lambda = 1$, sustituimos en las coordenadas de $B$ que definimos en el primer paso: $$B(1+2(1), 1+1, 1+2(1)) = B(3, 2, 3)$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{B(3, 2, 3)}$$

**b) Hallar un vector $(a, b, c)$ perpendicular a $(1,0, -1)$ y $(2,1,0)$. (0,5 puntos)** Para obtener un vector perpendicular a otros dos, utilizamos el **producto vectorial**. Definimos los vectores dados como $\vec{u} = (1, 0, -1)$ y $\vec{v} = (2, 1, 0)$. El vector buscado $(a, b, c)$ será el resultado de $\vec{u} \times \vec{v}$: $$\vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante aplicando la regla de Sarrus: - Suma de productos de la diagonal principal y sus paralelas: $$(\mathbf{i} \cdot 0 \cdot 0) + (1 \cdot 1 \cdot \mathbf{k}) + (2 \cdot \mathbf{j} \cdot (-1)) = 0\mathbf{i} + \mathbf{k} - 2\mathbf{j}$$ - Resta de productos de la diagonal secundaria y sus paralelas: $$- (2 \cdot 0 \cdot \mathbf{k}) - (1 \cdot \mathbf{j} \cdot 0) - (1 \cdot (-1) \cdot \mathbf{i}) = - 0\mathbf{k} - 0\mathbf{j} + \mathbf{i}$$ Combinando los resultados: $$\vec{w} = \mathbf{i} - 2\mathbf{j} + \mathbf{k}$$ $$\vec{w} = (1, -2, 1)$$ 💡 **Tip:** Cualquier vector proporcional a $(1, -2, 1)$ también sería perpendicular a los dos vectores originales. El producto vectorial es el método más directo. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{(a,b,c) = (1, -2, 1)}$$