Plano paralelo a una recta y perpendicular a otro plano

Para hallar el plano buscado (llamémosle $\alpha$), necesitamos un punto y dos vectores directores (o un vector normal). 1. **Vector director de la recta $r$:** La recta viene dada por la intersección de dos planos. Su vector director $\vec{v}_r$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $r \equiv \begin{cases} x - y = 0 \implies \vec{n}_1 = (1, -1, 0) \\ z + 1 = 0 \implies \vec{n}_2 = (0, 0, 1) \end{cases}$ $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{v}_r = \mathbf{i}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - (-1) \cdot 0)$$ $$\vec{v}_r = (-1, -1, 0)$$ Podemos usar, por comodidad, su opuesto: **$\vec{v}_r = (1, 1, 0)$**. 2. **Vector normal del plano $\pi$:** Directamente de su ecuación $x - 2y + 2z + 1 = 0$, tenemos: **$\vec{n}_\pi = (1, -2, 2)$**. 💡 **Tip:** Si un plano $\alpha$ es paralelo a una recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ es un vector director del plano. Si $\alpha$ es perpendicular a otro plano $\pi$, el vector normal $\vec{n}_\pi$ es también un vector director de $\alpha$.

El plano $\alpha$ que buscamos tiene como vectores directores $\vec{v}_r$ y $\vec{n}_\pi$. Por tanto, su vector normal $\vec{n}_\alpha$ será el producto vectorial de ambos: $$\vec{n}_\alpha = \vec{v}_r \times \vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos el determinante por Sarrus: $$\vec{n}_\alpha = \mathbf{i}(1 \cdot 2 - 0 \cdot (-2)) - \mathbf{j}(1 \cdot 2 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot (-2) - 1 \cdot 1)$$ $$\vec{n}_\alpha = 2\mathbf{i} - 2\mathbf{j} - 3\mathbf{k} = (2, -2, -3)$$ 💡 **Tip:** El vector normal a un plano es perpendicular a cualquier vector contenido en él. Al hacer el producto vectorial de dos vectores directores, obtenemos precisamente ese vector perpendicular. $$\boxed{\vec{n}_\alpha = (2, -2, -3)}$$

Utilizamos la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal $\vec{n}_\alpha = (2, -2, -3)$: $$2x - 2y - 3z + D = 0$$ Como el plano pasa por el punto $A(1, 3, -1)$, este debe verificar la ecuación: $$2(1) - 2(3) - 3(-1) + D = 0$$ $$2 - 6 + 3 + D = 0$$ $$-1 + D = 0 \implies D = 1$$ Sustituimos $D$ en la ecuación: $$2x - 2y - 3z + 1 = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{2x - 2y - 3z + 1 = 0}$$