Invertibilidad de una matriz y resolución de una ecuación matricial

**a) Indique para qué valores de $a$ existe la matriz inversa $A^{-1}$. (0,5 puntos)** Una matriz cuadrada $A$ admite inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$ en función del parámetro $a$: $$|A| = \begin{vmatrix} a + 1 & 1 \\ a - 3 & a - 3 \end{vmatrix}$$ Utilizamos la definición del determinante para una matriz $2 \times 2$: $$|A| = (a + 1)(a - 3) - (1)(a - 3)$$ 💡 **Tip:** Puedes simplificar el cálculo extrayendo el factor común $(a - 3)$ para evitar desarrollar el polinomio completo.

Operamos sobre la expresión anterior: $$|A| = (a - 3) \left[ (a + 1) - 1 \right] = (a - 3)(a) = a^2 - 3a$$ Para encontrar los valores donde no existe la inversa, igualamos el determinante a cero: $$a(a - 3) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $a = 0$ 2. $a - 3 = 0 \implies a = 3$ Por tanto, la matriz $A$ tiene inversa para todos los valores de $a$ distintos de $0$ y $3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} \text{ existe } \forall a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 3\}}$$

**b) Si $a = 4, B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, encuentre la matriz $X$ que verifica que $B + XA = C$. (1,5 puntos)** Primero, despejamos la matriz incógnita $X$ de la ecuación dada: $$B + XA = C$$ $$XA = C - B$$ Para dejar sola a $X$, debemos multiplicar por $A^{-1}$ por la **derecha** en ambos miembros, ya que el producto de matrices no es conmutativo: $$(XA)A^{-1} = (C - B)A^{-1}$$ $$X(AA^{-1}) = (C - B)A^{-1}$$ $$X \cdot I = (C - B)A^{-1} \implies X = (C - B)A^{-1}$$ 💡 **Tip:** Es fundamental multiplicar por la inversa en el lado correcto. Como $A$ está a la derecha de $X$, su inversa $A^{-1}$ debe aplicarse también por la derecha.

Sustituimos $a = 4$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 4 + 1 & 1 \\ 4 - 3 & 4 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos la diferencia $C - B$: $$C - B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 2 & 1 - 0 \\ 0 - 1 & 2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Llamaremos $D = C - B$ para simplificar la notación: $D = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$.

Calculamos $A^{-1}$ usando la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A^T)$. 1. Determinante (con $a=4$): $$|A| = 4^2 - 3(4) = 16 - 12 = 4$$ 2. Matriz traspuesta $A^T$: $$A^T = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Matriz de adjuntos de la traspuesta: $$\text{Adj}(A^T) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$$ 4. Matriz inversa: $$A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, la inversa se halla rápido intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando el signo de la secundaria y dividiendo por el determinante.

Finalmente, calculamos $X = D \cdot A^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \left[ \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} \right]$$ $$X = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} (-1)(1) + (1)(-1) & (-1)(-1) + (1)(5) \\ (-1)(1) + (1)(-1) & (-1)(-1) + (1)(5) \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -1 - 1 & 1 + 5 \\ -1 - 1 & 1 + 5 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -2 & 6 \\ -2 & 6 \end{pmatrix}$$ Simplificando las fracciones: $$X = \begin{pmatrix} -2/4 & 6/4 \\ -2/4 & 6/4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 & 3/2 \\ -1/2 & 3/2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}}$$