Discusión y resolución de un sistema homogéneo con parámetro

**a) Estudie la existencia y número de soluciones según los valores del parámetro real $a$. (1,2 puntos)** En primer lugar, observamos que se trata de un **sistema homogéneo** (todos los términos independientes son cero). Esto significa que el sistema siempre es compatible, ya que al menos admite la solución trivial $(0, 0, 0)$. Escribimos la matriz de coeficientes $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & a \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & a & -2 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & a \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & a & -2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 0 \cdot (-2)) + ((-1) \cdot (-1) \cdot 2) + (a \cdot 1 \cdot a) - (a \cdot 0 \cdot 2) - ((-1) \cdot 1 \cdot (-2)) - (1 \cdot (-1) \cdot a)$$ $$|A| = 0 + 2 + a^2 - 0 - 2 + a = a^2 + a$$ 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo de $n$ ecuaciones con $n$ incógnitas tiene soluciones distintas de la trivial si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes es cero.

Para estudiar el rango, buscamos los valores de $a$ que anulan el determinante: $$a^2 + a = 0 \implies a(a + 1) = 0 \implies \begin{cases} a = 0 \\ a = -1 \end{cases}$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, distinguimos los siguientes casos: **Caso 1: $a \neq 0$ y $a \neq -1$** En este caso, $|A| \neq 0$, por lo que el rango de la matriz $A$ es 3 ($rg(A) = 3$). Al coincidir con el número de incógnitas, el sistema es un **Sistema Compatible Determinado (SCD)**. La única solución es la solución trivial: **$(0, 0, 0)$**. **Caso 2: $a = 0$** La matriz de coeficientes queda: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}$$ Como $|A| = 0$, el $rg(A) < 3$. Tomamos un menor de orden 2: $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$, por lo que $rg(A) = 2$. Como $rg(A) \lt n$ (número de incógnitas), el sistema es un **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. Tiene infinitas soluciones. **Caso 3: $a = -1$** La matriz de coeficientes queda: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & -2 \end{pmatrix}$$ Como $|A| = 0$, el $rg(A) < 3$. Tomamos un menor de orden 2: $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$, por lo que $rg(A) = 2$. Como $rg(A) \lt n$, el sistema es un **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. Tiene infinitas soluciones. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \in \mathbb{R} \setminus \{0, -1\}: \text{SCD (Solución única)} \\ \text{Si } a = 0 \text{ o } a = -1: \text{SCI (Infinitas soluciones)} \end{cases}}$$

**b) Resuélvalo, si es posible, para el valor del parámetro $a = -1$. (0,8 puntos)** Sustituimos $a = -1$ en el sistema: $$\begin{cases} x - y - z = 0 \\ x - z = 0 \\ 2x - y - 2z = 0 \end{cases}$$ Como sabemos que $rg(A) = 2$, una de las ecuaciones es redundante (la tercera es la suma de las dos primeras). Resolvemos el sistema usando las dos primeras ecuaciones y pasando la $z$ al otro miembro como parámetro: De la segunda ecuación: $$x = z$$ Sustituimos $x = z$ en la primera ecuación: $$z - y - z = 0 \implies -y = 0 \implies y = 0$$ Tomamos $z = \lambda$, donde $\lambda \in \mathbb{R}$. Las soluciones son de la forma: $$\begin{cases} x = \lambda \\ y = 0 \\ z = \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** En un SCI con $rg(A) = 2$ y 3 incógnitas, el grado de libertad es $3 - 2 = 1$, por lo que las soluciones dependen de un único parámetro $\lambda$. ✅ **Resultado (Resolución para $a = -1$):** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda, 0, \lambda) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$