Probabilidad en juego de dados y monedas

**1) [1 PUNTO] Calcula la probabilidad de ganar exactamente $400\text{ €}$.** En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el experimento: - $C$: Salir “Cara” en la moneda. $P(C) = \dfrac{1}{2}$. - $X$: Salir “Cruz” en la moneda. $P(X) = \dfrac{1}{2}$. - $D_i$: Salir el número $i$ en el dado, para $i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. $P(D_i) = \dfrac{1}{6}$. Sea $G$ la ganancia total. Los sucesos son independientes, por lo que la probabilidad de una combinación es el producto de sus probabilidades. Analicemos cómo obtener **$400\text{ €}$**: - Si sale **Cara ($C$)**, ya tenemos $300\text{ €}$. Necesitamos $100\text{ €}$ del dado, lo que corresponde a sacar un **1** ($D_1$). - Si sale **Cruz ($X$)**, tenemos $0\text{ €}$ adicionales. Necesitamos $400\text{ €}$ del dado, lo que corresponde a sacar un **4** ($D_4$). Representamos el árbol de probabilidad simplificado para los casos que nos interesan: 💡 **Tip:** Recuerda que si dos sucesos $A$ y $B$ son independientes, $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Para calcular $P(G = 400)$, sumamos las probabilidades de las dos ramas que nos llevan a ese premio: $$P(G = 400) = P(C \cap D_1) + P(X \cap D_4)$$ Como el lanzamiento del dado y la moneda son independientes: $$P(G = 400) = P(C) \cdot P(D_1) + P(X) \cdot P(D_4)$$ $$P(G = 400) = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} \right)$$ $$P(G = 400) = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(G = 400) = \frac{1}{6} \approx 0.1667}$$

**2) [0.5 PUNTOS] Calcula la probabilidad de ganar $400\text{ €}$ si sabemos que ha salido ”Cara” en la moneda.** Se nos pide la probabilidad condicionada $P(G = 400 | C)$. Si sabemos que ha salido **Cara**, ya tenemos $300\text{ €}$ asegurados. Por lo tanto, para ganar exactamente $400\text{ €}$, el dado debe mostrar obligatoriamente un **1**. Como los lanzamientos son independientes, el hecho de que haya salido Cara no altera las probabilidades del dado: $$P(G = 400 | C) = P(D_1) = \frac{1}{6}$$ 💡 **Tip:** En sucesos independientes, $P(A|B) = P(A)$. Aquí, ganar $400\text{ €}$ dado que salió Cara depende exclusivamente de sacar un $1$ en el dado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(G = 400 | C) = \frac{1}{6} \approx 0.1667}$$

**3) [1 PUNTO] Calcula la probabilidad de que haya salido “Cara” sabiendo que hemos ganado $400\text{ €}$.** En este caso se nos pide $P(C | G = 400)$. Aplicamos la definición de probabilidad condicionada (o el Teorema de Bayes): $$P(C | G = 400) = \frac{P(C \cap G = 400)}{P(G = 400)}$$ Utilizamos los valores calculados en el primer apartado: - $P(C \cap G = 400)$ es la probabilidad de la rama superior: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$. - $P(G = 400) = \frac{1}{6}$. Sustituimos: $$P(C | G = 400) = \frac{1/12}{1/6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la condición: calcular la causa (la moneda) conociendo el efecto (el premio). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C | G = 400) = \frac{1}{2} = 0.5}$$