Geometría en el espacio: Rectas, planos y áreas

**1) [0.5 PUNTOS] Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$.** Para definir una recta $r$ en el espacio, necesitamos un punto y un vector director. Tomamos el punto $A(1, 2, 1)$ y calculamos el vector director $\vec{v_r}$ como el vector que une $A$ y $B$: $$\vec{v_r} = \vec{AB} = B - A = (2-1, 3-2, -4-1) = (1, 1, -5).$$ La ecuación paramétrica de la recta $r$ es: $$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = 1 - 5\lambda \end{cases}$$ También podemos expresarla en su forma continua: $$\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{-5}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación continua de una recta que pasa por $P(x_0, y_0, z_0)$ con vector $(v_1, v_2, v_3)$ es $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{r: x-1 = y-2 = \frac{z-1}{-5}}$$

**2) [1 PUNTO] Halla la ecuación del plano que contiene los tres puntos.** Un plano $\pi$ queda determinado por un punto y dos vectores directores linealmente independientes contenidos en él. Usamos el punto $A(1, 2, 1)$ y los vectores: - $\vec{u} = \vec{AB} = (1, 1, -5)$ - $\vec{v} = \vec{AC} = C - A = (4-1, 3-2, 2-1) = (3, 1, 1)$ La ecuación implícita (o general) del plano se obtiene igualando a cero el determinante formado por un punto genérico $X(x, y, z)$ y los vectores: $$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-1 \\ 1 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Resolvemos por la regla de **Sarrus**: $$(x-1) \cdot 1 \cdot 1 + (y-2) \cdot (-5) \cdot 3 + (z-1) \cdot 1 \cdot 1 - [3 \cdot 1 \cdot (z-1) + 1 \cdot (-5) \cdot (x-1) + 1 \cdot (y-2) \cdot 1] = 0$$ $$(x-1) - 15(y-2) + (z-1) - [3(z-1) - 5(x-1) + (y-2)] = 0$$ $$x - 1 - 15y + 30 + z - 1 - [3z - 3 - 5x + 5 + y - 2] = 0$$ $$x - 15y + z + 28 - [ -5x + y + 3z ] = 0$$ $$x - 15y + z + 28 + 5x - y - 3z = 0$$ $$6x - 16y - 2z + 28 = 0$$ Dividiendo toda la ecuación entre $2$ para simplificar: $$3x - 8y - z + 14 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi: 3x - 8y - z + 14 = 0}$$

**3) [1 PUNTO] Calcula el área del triángulo que forman los tres puntos.** El área de un triángulo cuyos vértices son $A$, $B$ y $C$ se calcula mediante la fórmula: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ Primero, calculamos el **producto vectorial** $\vec{AB} \times \vec{AC}$ usando un determinante: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (1 \cdot 1)\vec{i} + (-5 \cdot 3)\vec{j} + (1 \cdot 1)\vec{k} - [3 \cdot 1 \cdot \vec{k} + 1 \cdot (-5) \cdot \vec{i} + 1 \cdot 1 \cdot \vec{j}]$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (1)\vec{i} - 15\vec{j} + \vec{k} - [3\vec{k} - 5\vec{i} + \vec{j}]$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (1+5)\vec{i} + (-15-1)\vec{j} + (1-3)\vec{k} = (6, -16, -2)$$ Calculamos ahora el módulo de dicho vector: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{6^2 + (-16)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 256 + 4} = \sqrt{296}$$ Podemos simplificar la raíz: $\sqrt{296} = \sqrt{4 \cdot 74} = 2\sqrt{74}$. Finalmente, el área es: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{74} = \sqrt{74} \approx 8.60 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** El módulo del producto vectorial representa el área del paralelogramo formado por los dos vectores. El triángulo es exactamente la mitad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \sqrt{74} \text{ u}^2}$$