Estudio de función racional, primitiva y cálculo de área

**1) [1 PUNTO] Calcula el dominio y las asíntotas de $f(x)$.** Para calcular el dominio de una función racional, buscamos los valores de $x$ que anulan el denominador: $$x^2 = 0 \implies x = 0$$ La función está definida para cualquier número real excepto para $x = 0$, ya que no se puede dividir por cero. 💡 **Tip:** El dominio de una función racional son todos los reales excepto las raíces del denominador. $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

Para hallar las asíntotas verticales, analizamos el comportamiento de la función en los puntos que no pertenecen al dominio, en este caso $x = 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{2}{x^2} = \frac{2}{0^+} = +\infty$$ Como el límite es infinito, existe una asíntota vertical en $x = 0$ (el eje $OY$). Al estar elevado al cuadrado, el límite es el mismo por ambos lados. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = 0}$$

Calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito para encontrar asíntotas horizontales: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{x^2} = \frac{2}{\infty} = 0$$ Como el límite es una constante real, la recta **$y = 0$** (el eje $OX$) es una asíntota horizontal. 💡 **Tip:** Si existe una asíntota horizontal, no puede existir una asíntota oblicua en el mismo sentido de la rama infinita. ✅ **Resultado (AH):** $$\boxed{y = 0}$$

**2) [0.5 PUNTOS] Halla una primitiva de $f(x)$.** Una primitiva $F(x)$ se obtiene calculando la integral indefinida de la función. Para facilitar la integración, expresamos la fracción como una potencia negativa: $$F(x) = \int \frac{2}{x^2} \, dx = \int 2x^{-2} \, dx$$ Aplicamos la regla de integración de una potencia $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$: $$F(x) = 2 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = 2 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{2}{x} + C$$ Como nos piden "una" primitiva, podemos elegir el valor de la constante $C = 0$. ✅ **Resultado (Primitiva):** $$\boxed{F(x) = -\frac{2}{x}}$$

**3) [1 PUNTO] Calcula el área de la región limitada por la función $y = f(x)$, las rectas $x = 1$, $x = 2$, y el eje $OX$ de abscisas.** Primero comprobamos si la función corta al eje $OX$ en el intervalo $[1, 2]$ o si cambia de signo. $f(x) = \frac{2}{x^2}$ es siempre positiva para cualquier $x \neq 0$, por lo que la función está por encima del eje $OX$ en todo el intervalo. El área viene dada por la integral definida: $$A = \int_{1}^{2} \frac{2}{x^2} \, dx$$ Visualizamos la región: "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=\\frac{2}{x^2}", "color": "#2563eb" }, { "id": "reg1", "latex": "0 \\le y \\le f(x) \\{1 \\le x \\le 2\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 4, "bottom": -1, "top": 3 } } }

Utilizamos la primitiva calculada en el apartado anterior $F(x) = -\frac{2}{x}$ y aplicamos la Regla de Barrow: $$A = \left[ -\frac{2}{x} \right]_{1}^{2} = F(2) - F(1)$$ Sustituimos los límites de integración: $$A = \left( -\frac{2}{2} \right) - \left( -\frac{2}{1} \right) = (-1) - (-2) = -1 + 2 = 1$$ 💡 **Tip:** El área siempre debe dar un resultado positivo. Si al integrar una función que está por debajo del eje $OX$ obtienes un valor negativo, recuerda usar el valor absoluto. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{A = 1 \text{ u}^2}$$