Sistema de ecuaciones: El juego de mesa

**1) [1 PUNTO] Con la información dada, plantea un sistema de ecuaciones para hallar el número de tanques, submarinos y aviones que tiene el rival.** Primero, definimos las variables que representan las incógnitas del problema: - $x$: número de tanques. - $y$: número de submarinos. - $z$: número de aviones. Traducimos el enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. **Gasto total:** El coste de los tanques ($1x$), submarinos ($3y$) y aviones ($5z$) suma 41 diamantes: $$x + 3y + 5z = 41$$ 2. **Relación submarinos y tanques:** Tiene el doble de submarinos que de tanques ($y = 2x$): $$-2x + y = 0$$ 3. **Suma de submarinos y aviones:** El número de submarinos más el de aviones es 10: $$y + z = 10$$ 💡 **Tip:** Al plantear sistemas de problemas con contexto, asegúrate de que las unidades (en este caso, diamantes y cantidades de vehículos) coincidan en cada ecuación. El sistema planteado es: $$\boxed{\begin{cases} x + 3y + 5z = 41 \\ -2x + y = 0 \\ y + z = 10 \end{cases}}$$

**2) [0.5 PUNTOS] Clasifica el sistema.** Para clasificar el sistema, analizamos los rangos de la matriz de coeficientes $A$ y de la matriz ampliada $A^*$. Las matrices son: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 5 & 41 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 10 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot 1) + (3 \cdot 0 \cdot 0) + (-2 \cdot 1 \cdot 5) - (0 \cdot 1 \cdot 5) - (1 \cdot 0 \cdot 1) - (-2 \cdot 3 \cdot 1)$$ $$|A| = 1 + 0 - 10 - 0 - 0 + 6 = -3$$ Como $|A| = -3 \neq 0$, el rango de $A$ es 3. Al ser un sistema de 3 incógnitas, el rango de la matriz ampliada $A^*$ también debe ser 3. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**: - $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El sistema es Compatible Determinado (tiene una única solución)}}$$

**3) [1 PUNTO] Resuelve el sistema.** Dado que el sistema es sencillo, utilizaremos el método de sustitución partiendo de las ecuaciones de relación: 1. De la segunda ecuación tenemos: $y = 2x$. 2. De la tercera ecuación, despejamos $z$ en función de $y$: $z = 10 - y$. Sustituyendo $y = 2x$, obtenemos $z = 10 - 2x$. Ahora, sustituimos estas dos expresiones en la primera ecuación: $$x + 3(2x) + 5(10 - 2x) = 41$$ $$x + 6x + 50 - 10x = 41$$ $$7x - 10x = 41 - 50$$ $$-3x = -9 \implies x = \frac{-9}{-3} = 3$$ Calculamos ahora el resto de incógnitas: - $y = 2(3) = 6$ - $z = 10 - 6 = 4$ 💡 **Tip:** En problemas de este tipo, los resultados deben ser números enteros positivos, ya que representan cantidades de objetos físicos. Comprobamos en la primera ecuación: $3 + 3(6) + 5(4) = 3 + 18 + 20 = 41$. Es correcto. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 3 \text{ tanques}, \; y = 6 \text{ submarinos}, \; z = 4 \text{ aviones}}$$