Probabilidad y Estadística 2020 Cantabria
Distribución normal y test de anticuerpos COVID-19
Ejercicio 4 [2.5 PUNTOS]
Un determinado test rápido para anticuerpos de COVID-19 consigue detectar concentraciones iguales o superiores a $10\text{ U}$, en donde $U$ son unidades de concentración de anticuerpos. De esta forma, concentraciones iguales o superiores a $10\text{ U}$ dan un resultado positivo, mientras que concentraciones inferiores a $10\text{ U}$ dan un resultado negativo en el test. Suponemos que la concentración de anticuerpos sigue una distribución normal con media $20\text{ U}$ y desviación típica $5\text{ U}$ y que todas las personas que han pasado la enfermedad han desarrollado anticuerpos.
1) [1.25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que una persona que ha pasado la enfermedad de negativo en el test.
2) [1.25 PUNTOS] Calcula qué concentraciones debería detectar el test para que la probabilidad calculada en el apartado anterior fuese del 1%.
Paso 1
Definición de la variable y planteamiento
**1) [1.25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que una persona que ha pasado la enfermedad de negativo en el test.**
Primero, definimos la variable aleatoria $X$ que representa la concentración de anticuerpos en una persona que ha pasado la enfermedad:
$$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(20, 5)$$
Donde:
- Media: $\mu = 20\text{ U}$
- Desviación típica: $\sigma = 5\text{ U}$
El enunciado indica que el test da **negativo** si la concentración es inferior a $10\text{ U}$. Por tanto, debemos calcular la probabilidad:
$$P(X \lt 10)$$
💡 **Tip:** Identificar correctamente la media y la desviación típica es el primer paso esencial en cualquier problema de distribución normal.
Paso 2
Tipificación y cálculo de la probabilidad
Para calcular probabilidades en una distribución normal, debemos realizar un cambio de variable para pasar a la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula de tipificación:
$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$
Tipificamos el valor $X = 10$:
$$P(X \lt 10) = P\left(Z \lt \frac{10 - 20}{5}\right) = P\left(Z \lt \frac{-10}{5}\right) = P(Z \lt -2)$$
Como las tablas de la normal suelen mostrar valores para $Z$ positivos y hacia la izquierda, aplicamos las propiedades de simetría de la campana de Gauss:
$$P(Z \lt -2) = P(Z \gt 2) = 1 - P(Z \le 2)$$
Buscamos en la tabla de la normal estándar el valor para $Z = 2$:
$$P(Z \le 2) = 0.9772$$
Sustituimos para obtener el resultado final:
$$P(X \lt 10) = 1 - 0.9772 = 0.0228$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\text{negativo}) = 0.0228 \text{ (o } 2.28\%\text{)}}$$
Paso 3
Planteamiento del valor crítico
**2) [1.25 PUNTOS] Calcula qué concentraciones debería detectar el test para que la probabilidad calculada en el apartado anterior fuese del 1%.**
En este apartado, buscamos un nuevo umbral de concentración, al que llamaremos $k$, tal que la probabilidad de dar negativo (concentración menor que $k$) sea exactamente del $1\%$, es decir, $0.01$.
Buscamos $k$ tal que:
$$P(X \lt k) = 0.01$$
Tipificamos la variable $X$:
$$P\left(Z \lt \frac{k - 20}{5}\right) = 0.01$$
💡 **Tip:** Este es un problema inverso de la normal. Conocemos la probabilidad y debemos encontrar el valor de la variable $X$.
Paso 4
Búsqueda en la tabla y cálculo de k
Llamamos $z_0 = \frac{k - 20}{5}$. Sabemos que $P(Z \lt z_0) = 0.01$.
Como $0.01$ es menor que $0.5$, el valor de $z_0$ debe ser negativo. Por simetría:
$$P(Z \lt z_0) = P(Z \gt -z_0) = 1 - P(Z \le -z_0) = 0.01$$
$$P(Z \le -z_0) = 1 - 0.01 = 0.99$$
Buscamos el valor $0.99$ en el interior de la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$. El valor más aproximado corresponde a:
$$-z_0 \approx 2.33$$
Por tanto, $z_0 = -2.33$. Ahora despejamos $k$ de la fórmula de tipificación:
$$-2.33 = \frac{k - 20}{5}$$
$$k - 20 = -2.33 \cdot 5$$
$$k - 20 = -11.65$$
$$k = 20 - 11.65 = 8.35$$
El test debería dar positivo para concentraciones iguales o superiores a $8.35\text{ U}$ para que el error (negativos) baje al $1\%$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{k = 8.35\text{ U}}$$