Geometría en el espacio: Rayo láser y láminas

**1) [0.5 PUNTOS] Calcula la ecuación de la recta que contiene al rayo láser.** Para definir la recta $r$ que contiene el rayo láser, necesitamos un punto por el que pase y un vector director. El enunciado nos da directamente: - Punto: $P(1, 2, 8)$ - Vector director: $\vec{v} = (1, 2, -3)$ La forma más habitual de expresar la recta es en su **ecuación continua**: $$\frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$$ Sustituyendo los valores de $P$ y $\vec{v}$: $$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 8}{-3}$$ También podemos expresarla en **ecuaciones paramétricas**, que serán útiles para el siguiente apartado: $$\begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 + 2\lambda \\ z = 8 - 3\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de una recta se puede escribir de varias formas (vectorial, paramétrica, continua o implícita). Elige la que más te convenga según lo que te pidan después. ✅ **Resultado:** $$\boxed{r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 + 2\lambda \\ z = 8 - 3\lambda \end{cases}}$$

**2) [1 PUNTO] Determina la posición relativa de rayo y lámina.** La lámina está contenida en el plano $\pi: -x - y + 3z = -8$, que podemos escribir de forma general como: $$\pi: -x - y + 3z + 8 = 0$$ Para hallar la posición relativa, estudiamos la intersección de la recta $r$ con el plano $\pi$. Sustituimos las expresiones paramétricas de la recta en la ecuación del plano: $$-(1 + \lambda) - (2 + 2\lambda) + 3(8 - 3\lambda) + 8 = 0$$ Operamos para resolver $\lambda$: $$-1 - \lambda - 2 - 2\lambda + 24 - 9\lambda + 8 = 0$$ $$-12\lambda + 29 = 0$$ $$-12\lambda = -29 \implies \lambda = \frac{29}{12}$$ Como hemos obtenido un **valor único de $\lambda$**, esto significa que la recta y el plano se cortan en un solo punto. Alternativamente, podemos comprobar el producto escalar del vector director de la recta $\vec{v} = (1, 2, -3)$ y el vector normal del plano $\vec{n}_\pi = (-1, -1, 3)$: $$\vec{v} \cdot \vec{n}_\pi = (1)(-1) + (2)(-1) + (-3)(3) = -1 - 2 - 9 = -12 \neq 0$$ Como el producto escalar no es cero, el vector director de la recta no es perpendicular al normal del plano, lo que confirma que **la recta y el plano son secantes**. 💡 **Tip:** Si el sistema tiene una solución única para $\lambda$, son secantes. Si no tiene solución, son paralelos. Si tiene infinitas soluciones, la recta está contenida en el plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta y la lámina son secantes (se cortan en un punto)}}$$

**3) [1 PUNTO] Se quiere situar otra lámina que sea ortogonal al rayo y pase por el origen. Calcula la ecuación del plano de esta lámina.** Buscamos un plano $\pi'$ con las siguientes condiciones: 1. Es **ortogonal al rayo**: Esto implica que el vector director del rayo $\vec{v} = (1, 2, -3)$ es el **vector normal** del plano, es decir, $\vec{n}_{\pi'} = (1, 2, -3)$. 2. Pasa por el **origen**: $O(0, 0, 0)$. La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal. Así: $$1x + 2y - 3z + D = 0$$ Como el plano pasa por el origen $(0,0,0)$, sustituimos estas coordenadas para hallar $D$: $$1(0) + 2(0) - 3(0) + D = 0 \implies D = 0$$ Por tanto, la ecuación de la lámina es: $$x + 2y - 3z = 0$$ 💡 **Tip:** Un plano queda unívocamente determinado por un punto y un vector perpendicular (normal). Si el plano pasa por el origen, el término independiente $D$ siempre es cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + 2y - 3z = 0}$$