Estudio de la función sinc: derivada, tangente, asíntotas y límites

**1) [0.5 PUNTOS] Calcula la derivada primera** La función $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ es un cociente de dos funciones derivables. Aplicamos la regla de la derivada de un cociente: $$f'(x) = \frac{(\sin(x))' \cdot x - \sin(x) \cdot (x)'}{x^2}$$ Calculamos las derivadas elementales: - $(\sin(x))' = \cos(x)$ - $(x)' = 1$ Sustituyendo en la fórmula: $$f'(x) = \frac{\cos(x) \cdot x - \sin(x) \cdot 1}{x^2}$$ $$f'(x) = \frac{x \cos(x) - \sin(x)}{x^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para un cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(x) = \frac{x \cos(x) - \sin(x)}{x^2}}$$

**2) [0.5 PUNTOS] Calcula la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = \pi$.** La pendiente $m$ de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto $x = a$ coincide con el valor de la derivada en dicho punto: $m = f'(a)$. Evaluamos $f'(x)$ en $x = \pi$: $$m = f'(\pi) = \frac{\pi \cos(\pi) - \sin(\pi)}{\pi^2}$$ Sabemos que: - $\cos(\pi) = -1$ - $\sin(\pi) = 0$ Sustituimos los valores: $$m = \frac{\pi(-1) - 0}{\pi^2} = \frac{-\pi}{\pi^2} = -\frac{1}{\pi}$$ 💡 **Tip:** La interpretación geométrica de la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente en dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = -\frac{1}{\pi}}$$

**3) [0.5 PUNTOS] Calcula las asíntotas.** **Asíntotas Verticales (AV):** El dominio de la función es $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. El candidato a asíntota vertical es $x = 0$. Calculamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$$ Como el límite es finito (no es $\pm\infty$), **no existe asíntota vertical** en $x = 0$. **Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos los límites en el infinito: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x}$$ Como $-1 \le \sin(x) \le 1$ (función acotada) y el denominador tiende a infinito: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x} = 0$$ De igual forma ocurre para $x \to -\infty$. Por tanto, existe una asíntota horizontal en **$y = 0$**. **Asíntotas Oblicuas (AO):** Al existir asíntota horizontal en ambos lados, **no hay asíntotas oblicuas**. 💡 **Tip:** Una función acotada dividida por algo que tiende a infinito siempre da como resultado un límite igual a cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{AV: No hay; AH: } y = 0; \text{ AO: No hay}}$$

**4) [1 PUNTO] Calcula $\lim_{x \to 0} f(x)$.** Calculamos el límite sustituyendo directamente: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \frac{\sin(0)}{0} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador de forma independiente: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sin(x))'}{(x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1}$$ Evaluamos el límite resultante: $$\lim_{x \to 0} \cos(x) = \cos(0) = 1$$ 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital establece que si $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, entonces el límite es igual a $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ si este existe. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1}$$