Ecuaciones matriciales y propiedades de la matriz inversa

**1) [0.5 PUNTOS] Despeja la matriz $X$ en la igualdad dada.** Partimos de la ecuación matricial $AXA^t = B$. Para despejar $X$, debemos eliminar las matrices $A$ (a la izquierda) y $A^t$ (a la derecha) multiplicando por sus respectivas inversas en el orden correcto, ya que el producto de matrices no es conmutativo. 1. Multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda en ambos miembros: $$A^{-1}(AXA^t) = A^{-1}B \implies (A^{-1}A)XA^t = A^{-1}B \implies IXA^t = A^{-1}B \implies XA^t = A^{-1}B$$ 2. Multiplicamos por $(A^t)^{-1}$ por la derecha en ambos miembros: $$(XA^t)(A^t)^{-1} = A^{-1}B(A^t)^{-1} \implies X(A^t(A^t)^{-1}) = A^{-1}B(A^t)^{-1} \implies XI = A^{-1}B(A^t)^{-1}$$ Obtenemos así la expresión despejada: $$X = A^{-1}B(A^t)^{-1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al despejar matrices, el orden de la multiplicación es fundamental. Si multiplicas por la izquierda en un lado de la igualdad, debes hacerlo por la izquierda en el otro. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = A^{-1}B(A^t)^{-1}}$$

**2) [0.5 PUNTOS] Comprueba que $A$ es invertible y calcula su inversa.** Una matriz es invertible si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $A = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$: $$|A| = \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (-2)(1) - (0)(1) = -2$$ Como $|A| = -2 \neq 0$, la matriz **$A$ es invertible**. Calculamos ahora $A^{-1}$ usando la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{Adj}(A))^t$: 1. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$$ 2. Traspuesta de la adjunta $(\text{Adj}(A))^t$: $$(\text{Adj}(A))^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$$ 3. Inversa de $A$: $$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 & 0 \\ 1/2 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para matrices $2\times 2$, la inversa se puede obtener rápidamente intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando de signo los de la secundaria y dividiendo todo por el determinante. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -1/2 & 0 \\ 1/2 & 1 \end{pmatrix}}$$

**3) [0.5 PUNTOS] Comprueba que $(A^{-1})^t = (A^t)^{-1}$** Vamos a calcular ambos lados de la igualdad por separado para verificar que coinciden. **Lado izquierdo: $(A^{-1})^t$** Tomamos $A^{-1}$ calculada anteriormente y trasponemos: $$(A^{-1})^t = \begin{pmatrix} -1/2 & 0 \\ 1/2 & 1 \end{pmatrix}^t = \begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ **Lado derecho: $(A^t)^{-1}$** Primero hallamos $A^t$: $$A^t = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^t = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante $|A^t| = (-2)(1) - (1)(0) = -2$ (que coincide con $|A|$). Ahora su inversa: $$\text{Adj}(A^t) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \implies (\text{Adj}(A^t))^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$$ $$(A^t)^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Comparando ambos resultados vemos que son idénticos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(A^{-1})^t = (A^t)^{-1} = \begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

**4) [1 PUNTO] Calcula $X$.** Utilizamos la expresión despejada en el apartado 1 y la propiedad comprobada en el apartado 3: $$X = A^{-1}B(A^t)^{-1} = A^{-1}B(A^{-1})^t$$ Procedemos por pasos: 1. Calculamos primero el producto $A^{-1}B$: $$A^{-1}B = \begin{pmatrix} -1/2 & 0 \\ 1/2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1/2)(0) + 0(-1) & (-1/2)(2) + 0(2) \\ (1/2)(0) + 1(-1) & (1/2)(2) + 1(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$ 2. Ahora multiplicamos el resultado anterior por $(A^{-1})^t$: $$X = (A^{-1}B) \cdot (A^{-1})^t = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 0(-1/2) + (-1)(0) & 0(1/2) + (-1)(1) \\ (-1)(-1/2) + 3(0) & (-1)(1/2) + 3(1) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1/2 & 5/2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1/2 & 5/2 \end{pmatrix}}$$