Probabilidad de alturas en la Unión Europea

Para resolver el problema, primero definimos los eventos principales: - $H$: El hombre seleccionado es holandés. - $\bar{H}$: El hombre seleccionado no es holandés (resto de la UE). - $M$: El hombre seleccionado mide más de $190\text{ cm}$. Datos proporcionados: - Población total de hombres adultos en la UE: $N_{UE} = 250\text{ millones}$. - Hombres en la UE que miden más de $190\text{ cm}$: $N_M = 12\text{ millones}$. - Población de hombres adultos en Holanda: $N_H = 7\text{ millones}$. - En Holanda, la altura $X$ sigue una normal: $X \sim N(184, 7)$. Podemos representar la estructura del problema con el siguiente árbol de probabilidad (aunque algunos datos se calculen en pasos posteriores):

**1) [0.25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que mida más de $190\text{ cm}$.** Utilizamos la definición de probabilidad clásica (regla de Laplace), ya que conocemos el número total de hombres en la UE y cuántos de ellos cumplen la condición de medir más de $190\text{ cm}$. $$P(M) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos posibles}} = \frac{12\text{ millones}}{250\text{ millones}} = \frac{12}{250}$$ Realizamos la división: $$P(M) = 0.048$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M) = 0.048}$$

**2) [0.25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que sea holandés.** Nuevamente aplicamos la regla de Laplace usando el total de hombres holandeses sobre el total de hombres de la Unión Europea. $$P(H) = \frac{N_H}{N_{UE}} = \frac{7\text{ millones}}{250\text{ millones}} = \frac{7}{250}$$ Realizamos la división: $$P(H) = 0.028$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(H) = 0.028}$$

**3) [1 PUNTO] Calcula la probabilidad de que mida más de $190\text{ cm}$ sabiendo que es holandés.** Se nos pide $P(M|H)$. Como se indica que la altura en Holanda sigue una distribución normal $X \sim N(\mu, \sigma)$ con $\mu = 184$ y $\sigma = 7$, debemos tipificar la variable para usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$. La tipificación se realiza mediante la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$: $$P(M|H) = P(X \gt 190) = P\left( Z \gt \frac{190 - 184}{7} \right)$$ $$P(X \gt 190) = P\left( Z \gt \frac{6}{7} \right) \approx P(Z \gt 0.86)$$ Como la tabla de la normal nos da áreas a la izquierda ($P(Z \le z)$), usamos la propiedad del complementario: $$P(Z \gt 0.86) = 1 - p(z \le 0.86)$$ Buscando en la tabla el valor $0.8$ en la columna y $0.06$ en la fila, obtenemos $0.8051$: $$P(M|H) = 1 - 0.8051 = 0.1949$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al tipificar, restamos la media y dividimos por la desviación típica. Si el símbolo es $>$ y la tabla es de menores, usamos $1 - P(Z \le z)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M|H) = 0.1949}$$

**4) [1 PUNTO] Calcula la probabilidad de que sea holandés sabiendo que mide más de $190\text{ cm}$.** Se nos pide la probabilidad condicionada inversa $P(H|M)$. Para ello aplicamos el Teorema de Bayes o la definición de probabilidad condicionada: $$P(H|M) = \frac{P(H \cap M)}{P(M)}$$ Primero calculamos la probabilidad de la intersección $P(H \cap M)$, que representa ser holandés **y** medir más de $190\text{ cm}$: $$P(H \cap M) = P(H) \cdot P(M|H)$$ $$P(H \cap M) = 0.028 \cdot 0.1949 = 0.0054572$$ Ahora sustituimos en la fórmula original con el valor de $P(M)$ obtenido en el apartado 1: $$P(H|M) = \frac{0.0054572}{0.048}$$ $$P(H|M) \approx 0.1137$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes es fundamental cuando queremos "dar la vuelta" a una condición. En este caso, conocemos la probabilidad de medir cierta altura siendo holandés, pero queremos saber la de ser holandés dada la altura. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(H|M) \approx 0.1137}$$