Geometría en el espacio: Plano, pertenencia y ángulos

**1) [1 PUNTO] Halla la ecuación del plano, $\Pi$, que contiene los puntos $A, B, C$.** Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores que no sean paralelos. Utilizaremos el punto $A(1, 3, 1)$ y los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. Calculamos los vectores: $$\vec{AB} = B - A = (4-1, 1-3, -2-1) = (3, -2, -3)$$ $$\vec{AC} = C - A = (3-1, 5-3, 2-1) = (2, 2, 1)$$ Comprobamos que no son proporcionales: $$\frac{3}{2} \neq \frac{-2}{2} \neq \frac{-3}{1}$$ Como no son proporcionales, determinan un plano. 💡 **Tip:** Un plano queda determinado por un punto $P$ y dos vectores directores $\vec{u}, \vec{v}$. Cualquier punto $X(x,y,z)$ del plano cumple que el determinante $\det(\vec{PX}, \vec{u}, \vec{v}) = 0$.

Para obtener la ecuación general del plano $ax + by + cz + d = 0$, calculamos el vector normal $\vec{n}$ mediante el producto vectorial de los vectores directores $\vec{AB} \times \vec{AC}$: $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -2 & -3 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n} = [(-2) \cdot 1]\vec{i} + [(-3) \cdot 2]\vec{j} + [3 \cdot 2]\vec{k} - [(-2) \cdot 2]\vec{k} - [(-3) \cdot 2]\vec{i} - [3 \cdot 1]\vec{j}$$ $$\vec{n} = -2\vec{i} - 6\vec{j} + 6\vec{k} + 4\vec{k} + 6\vec{i} - 3\vec{j}$$ $$\vec{n} = (4, -9, 10)$$ 💡 **Tip:** El vector normal $\vec{n}=(a,b,c)$ nos da directamente los coeficientes de $x, y, z$ en la ecuación general del plano.

Con el vector normal $\vec{n} = (4, -9, 10)$, la ecuación del plano $\Pi$ es de la forma: $$4x - 9y + 10z + d = 0$$ Sustituimos las coordenadas del punto $A(1, 3, 1)$ para hallar $d$: $$4(1) - 9(3) + 10(1) + d = 0$$ $$4 - 27 + 10 + d = 0$$ $$-13 + d = 0 \implies d = 13$$ ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{\Pi \equiv 4x - 9y + 10z + 13 = 0}$$

**2) [0.5 PUNTOS] Comprueba si el punto $D$ está contenido en el plano $\Pi$.** Para que el punto $D(1, 1, 3)$ pertenezca al plano $\Pi \equiv 4x - 9y + 10z + 13 = 0$, debe satisfacer su ecuación. Sustituimos las coordenadas de $D$: $$4(1) - 9(1) + 10(3) + 13 = 0$$ $$4 - 9 + 30 + 13 = 0$$ $$38 = 0$$ Como $38 \neq 0$, la igualdad no se cumple. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El punto } D(1, 1, 3) \text{ no está contenido en el plano } \Pi}$$

**3) [1 PUNTO] Calcula el ángulo que forman los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$.** Utilizamos la definición de producto escalar: $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\alpha)$$ Calculamos el producto escalar: $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (3)(2) + (-2)(2) + (-3)(1) = 6 - 4 - 3 = -1$$ Calculamos los módulos: $$|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 4 + 9} = \sqrt{22}$$ $$|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$$ Sustituimos en la fórmula del coseno: $$\cos(\alpha) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{-1}{3\sqrt{22}}$$ Calculamos el valor de $\alpha$: $$\alpha = \arccos\left(\frac{-1}{3\sqrt{22}}\right) \approx \arccos(-0.07107)$$ $$\alpha \approx 94.07^\circ$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha \approx 94.07^\circ \quad (1.64 \text{ radianes})}$$