Continuidad, límites e integrales de una función a trozos

**1) [0.5 PUNTOS] Halla $a$ para que $f(x)$ sea continua.** Para que la función $f(x)$ sea continua en todo su dominio, el único punto donde debemos imponer condiciones es en el salto entre ramas, $x = \pi/2$. Para ello, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. **Límite por la izquierda ($x \to \pi/2^-$):** Usamos la primera rama. $$\lim_{x \to (\pi/2)^-} f(x) = \lim_{x \to \pi/2} \sin(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1.$$ 2. **Límite por la derecha ($x \to \pi/2^+$):** Usamos la segunda rama. $$\lim_{x \to (\pi/2)^+} f(x) = \lim_{x \to \pi/2} \left( \frac{2}{x} + a \right) = \frac{2}{\pi/2} + a = \frac{4}{\pi} + a.$$ 3. **Valor de la función:** $f(\pi/2) = \sin(\pi/2) = 1$. Para que sea continua, igualamos los límites: $$1 = \frac{4}{\pi} + a \implies a = 1 - \frac{4}{\pi}.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una función es continua en un punto $c$ si $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1 - \frac{4}{\pi}}$$

**2) [0.5 PUNTOS] Calcula $\lim_{x \to \infty} f(x)$.** Cuando $x \to \infty$, estamos en el intervalo $x > \pi/2$, por lo que debemos utilizar la segunda rama de la función. Usamos el valor de $a$ hallado en el apartado anterior (aunque el enunciado pide el límite en función de $a$ si no se especifica, lo habitual es darlo de forma general): $$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{2}{x} + a \right).$$ Sabemos que $\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} = 0$, por lo tanto: $$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0 + a = a.$$ Si consideramos el valor de $a$ para que la función sea continua: $$\lim_{x \to \infty} f(x) = 1 - \frac{4}{\pi}.$$ 💡 **Tip:** El límite de una constante es la propia constante, y el límite de $\frac{k}{x}$ cuando $x \to \infty$ es siempre $0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to \infty} f(x) = a \quad \text{o bien} \quad 1 - \frac{4}{\pi}}$$

**3) [0.5 PUNTOS] Halla una primitiva de $f(x)$ para $x \le \pi/2$.** Para $x \le \pi/2$, la función está definida como $f(x) = \sin(x)$. Una primitiva $F(x)$ se obtiene calculando la integral indefinida: $$F(x) = \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C.$$ Como nos piden "una" primitiva, podemos elegir cualquier valor para la constante de integración $C$. Tomamos $C = 0$ por simplicidad: $$F(x) = -\cos(x).$$ 💡 **Tip:** No olvides que la derivada de $\cos(x)$ es $-\sin(x)$, por lo que la integral de $\sin(x)$ debe llevar el signo negativo: $-\cos(x)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{F(x) = -\cos(x)}$$

**4) [1 PUNTO] Calcula el área de la región limitada por la función $y = f(x)$, las rectas $x = 0$, $x = \pi/2$, y el eje $OX$ de abscisas.** El intervalo de integración es $[0, \pi/2]$. En este intervalo, la función viene definida por la primera rama: $$f(x) = \sin(x).$$ Dado que en el intervalo $[0, \pi/2]$ la función $\sin(x)$ es siempre mayor o igual a $0$, el área coincide con la integral definida: $$\text{Área} = \int_{0}^{\pi/2} \sin(x) \, dx.$$ Aplicamos la regla de Barrow utilizando la primitiva hallada anteriormente: $$\int_{0}^{\pi/2} \sin(x) \, dx = \left[ -\cos(x) \right]_{0}^{\pi/2} = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - (-\cos(0)).$$ Evaluamos los valores trigonométricos: - $\cos(\pi/2) = 0$ - $\cos(0) = 1$ $$\text{Área} = 0 - (-1) = 1 \text{ u}^2.$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow dice que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$. Ten mucho cuidado con los signos negativos al sustituir. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 1 \text{ u}^2}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = \\{x \\le \\pi/2: \\sin(x), x > \\pi/2: 2/x + (1-4/\\pi)\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "area", "latex": "0 \\le y \\le \\sin(x) \\{0 \\le x \\le \\pi/2\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -0.5, "right": 4, "bottom": -1, "top": 1.5 } } }