Ecuación matricial con parámetros

**1) [1 PUNTO] Despeja la matriz $X$ de la ecuación anterior.** Para despejar $X$ en la ecuación $AX - X = B$, debemos extraer $X$ como factor común. Es fundamental recordar que, en el álgebra de matrices, el elemento neutro de la multiplicación es la matriz identidad $I$. Podemos escribir $X$ como $I \cdot X$, de modo que: $$AX - I \cdot X = B$$ Extraemos factor común $X$ por la derecha: $$(A - I)X = B$$ Si la matriz $(A - I)$ es invertible (es decir, su determinante es distinto de cero), podemos multiplicar por su inversa $(A - I)^{-1}$ por la izquierda en ambos miembros: $$(A - I)^{-1}(A - I)X = (A - I)^{-1}B$$ $$I \cdot X = (A - I)^{-1}B$$ 💡 **Tip:** El orden en la multiplicación de matrices es crucial. Como $(A-I)$ multiplica a $X$ por la izquierda, su inversa debe aparecer también a la izquierda de $B$. ✅ **Resultado (despeje):** $$\boxed{X = (A - I)^{-1}B}$$

**2) [0.5 PUNTOS] Halla los valores de $a$ para los que no es posible calcular $X$.** La matriz $X$ no podrá calcularse si la matriz $(A - I)$ no tiene inversa. Una matriz cuadrada no es invertible si y solo si su determinante es igual a cero. Primero, obtenemos la matriz $M = A - I$: $$M = A - I = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & a \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-1 & -1-0 \\ 1-0 & a-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & a-1 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante: $$|A - I| = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & a-1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (a - 1) - (-1) \cdot 1 = a - 1 + 1 = a$$ Para que no sea posible calcular $X$, imponemos que el determinante sea nulo: $$|A - I| = 0 \implies a = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista la inversa $M^{-1}$, la condición necesaria y suficiente es que $\det(M) \neq 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No es posible calcular } X \text{ cuando } a = 0}$$

**3) [1 PUNTO] Calcula $X$ para $a = 1$.** Si $a = 1$, la matriz $A - I$ es: $$M = A - I = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Como vimos antes, el determinante es $|M| = a = 1$. Al ser distinto de cero, existe la inversa. La calculamos mediante la fórmula $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{Adj}(M)^t$. 1. Matriz de adjuntos $C$: $C_{11} = 0$ $C_{12} = -1$ $C_{21} = -(-1) = 1$ $C_{22} = 1$ $$C = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ 2. Matriz adjunta traspuesta $\text{Adj}(M)^t$: $$\text{Adj}(M)^t = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Inversa: $$M^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Inversa calculada:** $$\boxed{(A - I)^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}}$$

Finalmente, calculamos $X$ multiplicando $(A - I)^{-1}$ por $B$: $$X = (A - I)^{-1} B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -6 & 3 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: $(0 \cdot 3 + 1 \cdot (-6) = -6 \, , \, 0 \cdot 0 + 1 \cdot 3 = 3)$ - Fila 2: $(-1 \cdot 3 + 1 \cdot (-6) = -9 \, , \, -1 \cdot 0 + 1 \cdot 3 = 3)$ $$X = \begin{pmatrix} -6 & 3 \\ -9 & 3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Siempre puedes comprobar el resultado verificando que $AX - X$ sea igual a $B$ con el valor de $a$ dado. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -6 & 3 \\ -9 & 3 \end{pmatrix}}$$