Probabilidad y Estadística 2020 Cantabria
Probabilidad en el tenis: Tierra batida y otras superficies
Ejercicio 4 [2.5 PUNTOS]
Un tenista juega el 20% de sus partidos en tierra batida y el resto en otras superficies. Jugando en tierra batida gana el 90% de sus partidos, pero en otras superficies, solo consigue ganar el 40% de los partidos.
1) [1.25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que gane un partido concreto, sin que sepamos en qué superficie juega.
2) [1.25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que haya jugado un partido concreto en tierra batida sabiendo que ha ganado dicho partido.
Paso 1
Definición de sucesos y diagrama de árbol
**1) [1.25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que gane un partido concreto, sin que sepamos en qué superficie juega.**
Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema:
- $T$: El partido se juega en **tierra batida**.
- $O$: El partido se juega en **otras superficies**.
- $G$: El tenista **gana** el partido.
- $\bar{G}$: El tenista **pierde** el partido.
Extraemos los datos del enunciado en términos de probabilidad:
- $P(T) = 0.20$ (20% en tierra batida).
- $P(O) = 1 - 0.20 = 0.80$ (el resto en otras superficies).
- $P(G|T) = 0.90$ (probabilidad de ganar dado que es tierra batida).
- $P(G|O) = 0.40$ (probabilidad de ganar dado que es otra superficie).
💡 **Tip:** Un diagrama de árbol es la mejor herramienta para visualizar experimentos compuestos donde una elección (superficie) condiciona el resultado siguiente (ganar/perder).
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total de ganar
Para calcular la probabilidad de ganar un partido independientemente de la superficie, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**.
La probabilidad de ganar $P(G)$ es la suma de las probabilidades de ganar en cada superficie:
$$P(G) = P(T) \cdot P(G|T) + P(O) \cdot P(G|O)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(G) = (0.20 \cdot 0.90) + (0.80 \cdot 0.40)$$
$$P(G) = 0.18 + 0.32$$
$$P(G) = 0.50$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varias "vías" o causas incompatibles.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(G) = 0.50}$$
Paso 3
Probabilidad a posteriori (Teorema de Bayes)
**2) [1.25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que haya jugado un partido concreto en tierra batida sabiendo que ha ganado dicho partido.**
En este apartado nos piden una probabilidad condicionada inversa: conocemos el resultado final (ha ganado) y queremos saber la probabilidad de la causa (que fuera en tierra batida). Para ello usamos el **Teorema de Bayes**.
La fórmula es:
$$P(T|G) = \frac{P(T \cap G)}{P(G)} = \frac{P(T) \cdot P(G|T)}{P(G)}$$
Ya tenemos todos los datos necesarios:
- $P(T \cap G) = 0.20 \cdot 0.90 = 0.18$
- $P(G) = 0.50$ (calculado en el apartado anterior)
Sustituimos en la fórmula:
$$P(T|G) = \frac{0.18}{0.50}$$
$$P(T|G) = 0.36$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una "causa" dado un "efecto". Es fundamental haber calculado correctamente la probabilidad total en el denominador.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(T|G) = 0.36}$$