Geometría en el espacio: Rectas y planos

**1) [0.5 PUNTOS] Se emite un rayo láser desde el punto $A$. Calcula la ecuación de la recta que contiene al rayo láser para que impacte en el punto $B$.** Para definir la recta (llamémosla $s$) que contiene al rayo láser, necesitamos un punto por el que pase y un vector director. Usaremos el punto $A(2, 1, 5)$ y el vector director $\vec{v}_s$ será el vector que une $A$ con $B$: $$\vec{v}_s = \vec{AB} = B - A = (3-2, 4-1, 1-5) = (1, 3, -4).$$ La ecuación paramétrica de la recta $s$ es: $$s: \begin{cases} x = 2 + \mu \\ y = 1 + 3\mu \\ z = 5 - 4\mu \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Una recta en el espacio queda determinada por un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ y un vector director $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$. Su ecuación paramétrica es $x = x_0 + \lambda v_1, y = y_0 + \lambda v_2, z = z_0 + \lambda v_3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{s: \begin{cases} x = 2 + \mu \\ y = 1 + 3\mu \\ z = 5 - 4\mu \end{cases}}$$

**2) [1 PUNTO] Calcula la ecuación de una recta que pase por $B$ y sea perpendicular al rayo y a la recta $r$.** Buscamos una recta $t$ que pase por $B(3, 4, 1)$ y cuyo vector director $\vec{v}_t$ sea perpendicular a $\vec{v}_s$ (del rayo) y a $\vec{v}_r$ (de la recta $r$). Primero, extraemos el vector director de la recta $r$ a partir de sus ecuaciones paramétricas: $$\vec{v}_r = (-1, -3, -4).$$ El vector $\vec{v}_t$ se obtiene mediante el **producto vectorial** de $\vec{v}_s = (1, 3, -4)$ y $\vec{v}_r = (-1, -3, -4)$: $$\vec{v}_t = \vec{v}_s \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 3 & -4 \\ -1 & -3 & -4 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{v}_t = [3 \cdot (-4) \cdot \vec{i} + (-4) \cdot (-1) \cdot \vec{j} + 1 \cdot (-3) \cdot \vec{k}] - [(-1) \cdot 3 \cdot \vec{k} + (-3) \cdot (-4) \cdot \vec{i} + (-4) \cdot 1 \cdot \vec{j}]$$ $$\vec{v}_t = (-12\vec{i} + 4\vec{j} - 3\vec{k}) - (-3\vec{k} + 12\vec{i} - 4\vec{j})$$ $$\vec{v}_t = -24\vec{i} + 8\vec{j} + 0\vec{k} = (-24, 8, 0).$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por 8 para obtener un vector proporcional más sencillo: $$\vec{u}_t = (-3, 1, 0).$$ La ecuación de la recta $t$ que pasa por $B(3, 4, 1)$ es: $$\boxed{t: \begin{cases} x = 3 - 3\alpha \\ y = 4 + \alpha \\ z = 1 \end{cases}}$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores da como resultado un tercer vector que es perpendicular a ambos simultáneamente.

**3) [1 PUNTO] Calcula la ecuación del plano que contiene al rayo y a la recta $r$.** Para que un plano contenga a dos rectas, estas deben ser coplanarias (cortarse o ser paralelas). Comprobamos si el punto $B(3, 4, 1)$ pertenece a $r$ sustituyendo $\lambda = 0$: $$x = 3 - 0 = 3, \quad y = 4 - 3(0) = 4, \quad z = 1 - 4(0) = 1.$$ Efectivamente, $B$ pertenece a $r$. Como el rayo $s$ también contiene a $B$ (por el enunciado), las rectas se cortan en $B$. El plano $\pi$ estará determinado por el punto $B(3, 4, 1)$ y los vectores directores de ambas rectas: $\vec{v}_s = (1, 3, -4)$ y $\vec{v}_r = (-1, -3, -4)$. Utilizamos el vector normal $\vec{n}$ calculado en el apartado anterior: $\vec{n} = (-24, 8, 0)$, o su simplificado $(3, -1, 0)$. La ecuación del plano es: $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$ $$3(x - 3) - 1(y - 4) + 0(z - 1) = 0$$ $$3x - 9 - y + 4 = 0 \implies 3x - y - 5 = 0$$ 💡 **Tip:** Si un plano contiene a dos rectas que se cortan, su vector normal es el producto vectorial de los vectores directores de dichas rectas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi: 3x - y - 5 = 0}$$