Estudio de función trigonométrica: derivada, tangente, límite y asíntotas

**1) [0.5 PUNTOS] Calcula la derivada primera.** La función $f(x) = \frac{1 - \cos(x)}{x}$ es un cociente de dos funciones derivables en su dominio (donde $x \neq 0$). Aplicamos la regla de la derivada de un cociente: $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ Identificamos las partes: - $u = 1 - \cos(x) \implies u' = \sin(x)$ - $v = x \implies v' = 1$ Sustituimos en la fórmula: $$f'(x) = \frac{\sin(x) \cdot x - (1 - \cos(x)) \cdot 1}{x^2}$$ Simplificamos la expresión: $$f'(x) = \frac{x \sin(x) - 1 + \cos(x)}{x^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\cos(x)$ es $-\sin(x)$, por lo que la derivada de $1 - \cos(x)$ es $0 - (-\sin(x)) = \sin(x)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(x) = \frac{x \sin(x) + \cos(x) - 1}{x^2}}$$

**2) [0.5 PUNTOS] Calcula la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = \pi$.** La pendiente $m$ de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $x = a$ es igual al valor de la derivada en dicho punto, es decir, $m = f'(a)$. Evaluamos la derivada calculada en el paso anterior en $x = \pi$: $$f'(\pi) = \frac{\pi \sin(\pi) + \cos(\pi) - 1}{\pi^2}$$ Sabemos que: - $\sin(\pi) = 0$ - $\cos(\pi) = -1$ Sustituimos estos valores: $$m = f'(\pi) = \frac{\pi \cdot 0 + (-1) - 1}{\pi^2} = \frac{0 - 2}{\pi^2} = -\frac{2}{\pi^2}$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente es la interpretación geométrica de la derivada en un punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = -\frac{2}{\pi^2}}$$

**3) [1 PUNTO] Calcula $\lim_{x \to 0} f(x)$.** Evaluamos el límite directamente: $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x} = \frac{1 - \cos(0)}{0} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Para resolverla, aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(1 - \cos(x))}{\frac{d}{dx}(x)}$$ Calculamos las derivadas: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{1} = \sin(0) = 0$$ 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital es muy útil para resolver límites trigonométricos que presentan indeterminaciones de tipo cero partido por cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to 0} f(x) = 0}$$

**4) [0.5 PUNTOS] Calcula las asíntotas.** Analizamos los tres tipos de asíntotas: **1. Asíntotas Verticales (AV):** El único punto conflictivo del dominio es $x=0$. Sin embargo, en el apartado anterior hemos demostrado que: $$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$$ Como el límite es finito y no tiende a infinito, **no existe asíntota vertical** en $x=0$ (hay una discontinuidad evitable). **2. Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos el límite cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 - \cos(x)}{x}$$ Sabemos que la función $\cos(x)$ está acotada entre $-1$ y $1$. Por tanto, el numerador $1 - \cos(x)$ está acotado entre $0$ y $2$. Como es una función acotada dividida por algo que tiende a infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{\text{acotada}}{\infty} = 0$$ Por tanto, existe una asíntota horizontal en **$y = 0$**. **3. Asíntotas Oblicuas (AO):** Al existir asíntota horizontal cuando $x \to \infty$ y $x \to -\infty$, se descarta la existencia de asíntotas oblicuas en esos mismos sentidos. 💡 **Tip:** Para límites al infinito de funciones trigonométricas sen/cos divididas por $x$, utiliza siempre el razonamiento de función acotada. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{AH: } y = 0. \text{ No existen AV ni AO.}}$$