Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con un parámetro

**1) [1 PUNTO] Determina para qué valores de $t$ el sistema tiene solución única y resuélvelo en ese caso, expresando la solución en función del parámetro $t$ si es necesario.** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1-t \\ 1+t & -3 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1-t & t \\ 1+t & -3 & -t \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según el Teorema de Rouché-Frobenius, calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $|A|$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1-t \\ 1+t & -3 \end{vmatrix} = (1)(-3) - (1-t)(1+t)$$ Aplicando el producto notable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $$|A| = -3 - (1 - t^2) = -3 - 1 + t^2 = t^2 - 4$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$t^2 - 4 = 0 \implies t^2 = 4 \implies t = \pm 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un sistema de $n$ ecuaciones con $n$ incógnitas tiene solución única si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero.

Si $t \neq 2$ y $t \neq -2$, entonces $|A| \neq 0$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el rango de $A$ es igual al rango de $A^*$ e igual al número de incógnitas ($2$), por lo que el sistema es **Compatible Determinado (solución única)**. Resolvemos el sistema utilizando la Regla de Cramer: $$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} t & 1-t \\ -t & -3 \end{vmatrix}}{t^2-4} = \frac{-3t - (-t)(1-t)}{t^2-4} = \frac{-3t + t - t^2}{t^2-4} = \frac{-t^2 - 2t}{t^2-4}$$ Simplificamos factorizando: $$x = \frac{-t(t+2)}{(t-2)(t+2)} = \frac{-t}{t-2}$$ Para $y$: $$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & t \\ 1+t & -t \end{vmatrix}}{t^2-4} = \frac{-t - t(1+t)}{t^2-4} = \frac{-t - t - t^2}{t^2-4} = \frac{-t^2 - 2t}{t^2-4}$$ Al ser el mismo numerador que en $x$, simplificamos igual: $$y = \frac{-t(t+2)}{(t-2)(t+2)} = \frac{-t}{t-2}$$ ✅ **Resultado (Sistema compatible determinado):** $$\boxed{\text{Si } t \in \mathbb{R} \setminus \{2, -2\}, \text{ solución única: } x = \dfrac{-t}{t-2}, \; y = \dfrac{-t}{t-2}}$$

**2) [1 PUNTO] Determina para qué valores de $t$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvelo en ese caso.** Analizamos el caso $t = -2$. Sustituimos en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1-(-2) & -2 \\ 1+(-2) & -3 & -(-2) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 3 & -2 \\ -1 & -3 & 2 \end{array}\right)$$ Observamos que la segunda fila es proporcional a la primera ($F_2 = -F_1$). Por tanto, $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 1$. Como el rango es menor que el número de incógnitas ($1 < 2$), el sistema es **Compatible Indeterminado**. Para resolverlo, tomamos solo la primera ecuación (ya que la segunda es redundante): $$x + 3y = -2$$ Hacemos $y = \lambda$ (donde $\lambda \in \mathbb{R}$): $$x = -2 - 3\lambda$$ ✅ **Resultado (Sistema compatible indeterminado):** $$\boxed{\text{Si } t = -2, \text{ infinitas soluciones: } \begin{cases} x = -2 - 3\lambda \\ y = \lambda \end{cases} \, \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**3) [0.5 PUNTOS] Determina para qué valores de $t$ el sistema no tiene solución.** Analizamos el caso $t = 2$. Sustituimos en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1-2 & 2 \\ 1+2 & -3 & -2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 2 \\ 3 & -3 & -2 \end{array}\right)$$ Calculamos el rango de $A$: como $|A|=0$ y hay elementos distintos de cero, $\text{rg}(A) = 1$. Calculamos el rango de $A^*$ observando un menor de orden 2 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = -2 - 6 = -8 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 2$$ Como $\text{rg}(A) = 1 \neq \text{rg}(A^*) = 2$, según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Incompatible**. 💡 **Tip:** Si al simplificar llegas a una expresión absurda como $0 = 10$, el sistema no tiene solución. ✅ **Resultado (Sistema incompatible):** $$\boxed{\text{Si } t = 2, \text{ el sistema no tiene solución}}$$