Probabilidad y Estadística 2020 Asturias
Producción de manzanos: Distribución Normal
Bloque 4.B En una pumarada la producción en kilogramos de cada manzano sigue una distribución normal de media $\mu = 50$ y desviación típica $\sigma = 10$. Calcula:
a) La proporción de árboles que dan entre 30 y 60 kilogramos. (1.25 puntos)
b) El número de kilogramos por árbol a los que no llegan o igualan el 60 % de los árboles. (1.25 puntos)
(Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: $F(x) = P(Z \leq x), F(2) = 0.9772, F(1) = 0.8413, F(1.5) = 0.9332, F(0.5) = 0.6915, F(0.2533) = 0.6, F(0.5244) = 0.7, F(0.8416) = 0.8$)
Paso 1
Definición de la variable y tipificación
**a) La proporción de árboles que dan entre 30 y 60 kilogramos. (1.25 puntos)**
Definimos la variable aleatoria $X$ como la producción en kilogramos de un manzano. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal:
$$X \sim N(\mu=50, \sigma=10)$$
Para calcular probabilidades en una normal distinta a la estándar, debemos realizar el proceso de **tipificación**. Esto consiste en transformar $X$ en una variable $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula:
$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 50}{10}$$
💡 **Tip:** La tipificación nos permite usar los valores de la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ proporcionados en el enunciado.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad del intervalo
Queremos hallar $P(30 \leq X \leq 60)$. Aplicamos la tipificación a los límites del intervalo:
$$P(30 \leq X \leq 60) = P\left(\frac{30-50}{10} \leq Z \leq \frac{60-50}{10}\right) = P(-2 \leq Z \leq 1)$$
Usamos la propiedad de la probabilidad de un intervalo: $P(a \leq Z \leq b) = P(Z \leq b) - P(Z \leq a)$:
$$P(-2 \leq Z \leq 1) = P(Z \leq 1) - P(Z \leq -2)$$
Debido a la simetría de la campana de Gauss, $P(Z \leq -z) = 1 - P(Z \leq z)$:
$$P(Z \leq -2) = 1 - P(Z \leq 2)$$
Sustituyendo los valores dados en el enunciado ($P(Z \leq 1) = 0.8413$ y $P(Z \leq 2) = 0.9772$):
$$P(-2 \leq Z \leq 1) = 0.8413 - (1 - 0.9772) = 0.8413 - 0.0228 = 0.8185$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{0.8185 \text{ (o } 81.85\%)}$$
Paso 3
Planteamiento del valor umbral
**b) El número de kilogramos por árbol a los que no llegan o igualan el 60 % de los árboles. (1.25 puntos)**
Buscamos el valor $k$ tal que la probabilidad de que un árbol produzca $k$ kilogramos o menos sea el $60\%$, es decir, $0.60$.
Planteamos la ecuación:
$$P(X \leq k) = 0.60$$
Tipificamos la variable para poder usar los datos de la tabla:
$$P\left(Z \leq \frac{k - 50}{10}\right) = 0.60$$
💡 **Tip:** En este caso hacemos el proceso inverso: conocemos la probabilidad y buscamos el valor de la variable $Z$ que le corresponde en la tabla.
Paso 4
Resolución de la ecuación
Buscamos en la lista de valores proporcionada cuál corresponde a una probabilidad de $0.60$. El enunciado indica que:
$$P(Z \leq 0.2533) = 0.6$$
Por lo tanto, igualamos el valor tipificado con el valor de la tabla:
$$\frac{k - 50}{10} = 0.2533$$
Despejamos $k$:
$$k - 50 = 0.2533 \cdot 10$$
$$k - 50 = 2.533$$
$$k = 50 + 2.533 = 52.533$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{52.533 \text{ kg}}$$