Probabilidad y Estadística 2020 Asturias
Probabilidad total y Teorema de Bayes en el instituto
Bloque 4.A En un curso de un instituto hay tres clases: la clase A con 50 alumnos, la clase B con 30 y la clase C con 20. Cada clase tiene un profesor distinto de matemáticas. Con el profesor de la clase A aprueban el 40 % de los alumnos, con el de la clase B el 50 % y con el de la clase C el 75 % de los alumnos. Se coge al azar un alumno del curso. Calcula:
a) La probabilidad de que el alumno haya aprobado matemáticas. (1.25 puntos)
b) Sabiendo que ha aprobado, cuál es la probabilidad de que sea de la clase B. (1.25 puntos)
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
Para resolver este problema, primero definimos los sucesos básicos según la información del enunciado. Sea un alumno elegido al azar:
- $A$: El alumno pertenece a la clase A.
- $B$: El alumno pertenece a la clase B.
- $C$: El alumno pertenece a la clase C.
- $Ap$: El alumno aprueba matemáticas.
- $\overline{Ap}$: El alumno no aprueba matemáticas.
Calculamos las probabilidades de pertenecer a cada clase sabiendo que hay un total de $50 + 30 + 20 = 100$ alumnos:
$$P(A) = \frac{50}{100} = 0.5; \quad P(B) = \frac{30}{100} = 0.3; \quad P(C) = \frac{20}{100} = 0.2$$
Las probabilidades condicionadas de aprobar son:
$$P(Ap|A) = 0.4; \quad P(Ap|B) = 0.5; \quad P(Ap|C) = 0.75$$
Representamos la situación en un **árbol de probabilidad**:
💡 **Tip:** Un árbol de probabilidad es la mejor herramienta para visualizar problemas con varias etapas o clasificaciones sucesivas.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de aprobar (Teorema de la Probabilidad Total)
**a) La probabilidad de que el alumno haya aprobado matemáticas. (1.25 puntos)**
Para calcular la probabilidad de que un alumno haya aprobado, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, ya que el suceso aprobar ($Ap$) puede ocurrir a través de tres caminos distintos (pertenecer a la clase A, B o C).
$$P(Ap) = P(A) \cdot P(Ap|A) + P(B) \cdot P(Ap|B) + P(C) \cdot P(Ap|C)$$
Sustituimos los valores obtenidos del enunciado y del árbol:
$$P(Ap) = 0.5 \cdot 0.4 + 0.3 \cdot 0.5 + 0.2 \cdot 0.75$$
Realizamos las operaciones intermedias:
$$P(Ap) = 0.20 + 0.15 + 0.15 = 0.50$$
✅ **Resultado (probabilidad de aprobar):**
$$\boxed{P(Ap) = 0.5}$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de todas las probabilidades del Teorema de la Probabilidad Total debe considerar todos los casos posibles que forman una partición del espacio muestral (en este caso, las tres clases).
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**b) Sabiendo que ha aprobado, cuál es la probabilidad de que sea de la clase B. (1.25 puntos)**
En este apartado nos piden una probabilidad a posteriori: conocemos el resultado final (ha aprobado) y queremos saber la probabilidad de que provenga de una causa específica (clase B). Para ello, utilizamos el **Teorema de Bayes**.
La fórmula es:
$$P(B|Ap) = \frac{P(B \cap Ap)}{P(Ap)} = \frac{P(B) \cdot P(Ap|B)}{P(Ap)}$$
Sustituimos los valores calculados anteriormente:
$$P(B|Ap) = \frac{0.3 \cdot 0.5}{0.50}$$
$$P(B|Ap) = \frac{0.15}{0.50}$$
Simplificamos la expresión:
$$P(B|Ap) = 0.3$$
✅ **Resultado (probabilidad condicionada):**
$$\boxed{P(B|Ap) = 0.3}$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre se calcula como: (probabilidad del camino específico) dividido entre la (probabilidad total del suceso final).