Proyección ortogonal e intersección de recta y plano

**a) Calcula las ecuaciones implícitas de la recta $r$ que une $P$ y $A$. (1.5 puntos)** El enunciado nos indica que $A(5, 1, 0)$ es la proyección ortogonal del punto $P$ sobre el plano $\pi'$. Por definición de proyección ortogonal, el vector que une $P$ con $A$ debe ser perpendicular al plano $\pi'$. Por tanto, la recta $r$ que pasa por $P$ y $A$ es la recta perpendicular a $\pi'$ que pasa por el punto $A$. Extraemos el vector normal del plano $\pi' : x - z = 5$: $$\vec{n_{\pi'}} = (1, 0, -1)$$ Como la recta $r$ es perpendicular a $\pi'$, su vector director $\vec{v_r}$ coincidirá con el vector normal del plano: $$\vec{v_r} = \vec{n_{\pi'}} = (1, 0, -1)$$ 💡 **Tip:** Si una recta es perpendicular a un plano, su vector director es el vector normal del plano $(\vec{v_r} = \vec{n_\pi})$.

Utilizamos el punto $A(5, 1, 0)$ y el vector director $\vec{v_r} = (1, 0, -1)$ para escribir primero las ecuaciones paramétricas de la recta $r$: $$r: \begin{cases} x = 5 + \lambda \\ y = 1 \\ z = -\lambda \end{cases}$$ Para obtener las ecuaciones implícitas, eliminamos el parámetro $\lambda$. De la segunda ecuación ya tenemos una de las ecuaciones implícitas: $$y = 1 \implies y - 1 = 0$$ De la primera y tercera ecuación, despejamos $\lambda$ e igualamos: $$\begin{cases} \lambda = x - 5 \\ \lambda = -z \end{cases} \implies x - 5 = -z \implies x + z - 5 = 0$$ Por tanto, las ecuaciones implícitas de la recta $r$ son: $$\boxed{r: \begin{cases} y = 1 \\ x + z = 5 \end{cases}}$$

**b) Calcula el punto $P$. (1 punto)** Sabemos que el punto $P$ pertenece a la recta $r$ (ya que la recta une $P$ y $A$) y también nos dicen que $P$ es un punto del plano $\pi : x + y - 2z = 3$. Por tanto, $P$ es el punto de intersección entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Para hallar la intersección, sustituimos las expresiones de las ecuaciones paramétricas de $r$ en la ecuación del plano $\pi$: $$r: \begin{cases} x = 5 + \lambda \\ y = 1 \\ z = -\lambda \end{cases}, \quad \pi: x + y - 2z = 3$$ Sustituyendo: $$(5 + \lambda) + (1) - 2(-\lambda) = 3$$ $$5 + \lambda + 1 + 2\lambda = 3$$ $$6 + 3\lambda = 3$$ $$3\lambda = 3 - 6$$ $$3\lambda = -3 \implies \lambda = -1$$ 💡 **Tip:** Para hallar la intersección de una recta y un plano, lo más ágil es sustituir las paramétricas de la recta en la ecuación implícita del plano y resolver para el parámetro $\lambda$.

Una vez hallado el valor del parámetro $\lambda = -1$, calculamos las coordenadas del punto $P$ sustituyendo en las ecuaciones paramétricas de $r$: $$x = 5 + (-1) = 4$$ $$y = 1$$ $$z = -(-1) = 1$$ El punto buscado es: $$\boxed{P(4, 1, 1)}$$ Podemos comprobar que $P$ está en $\pi$: $4 + 1 - 2(1) = 3 \implies 5 - 2 = 3$ (Correcto).