Geometría del cubo: Vértices, planos y adyacencia

**a) El cuarto vértice $D$ de la cara $S$. (1 punto)** Primero, analizamos los vectores formados por los vértices conocidos de la cara $S$: $A(2, 1, 0)$, $B(5, 5, 0)$ y $C(2, 1, 5)$. Calculamos los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{AB} = B - A = (5-2, 5-1, 0-0) = (3, 4, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (2-2, 1-1, 5-0) = (0, 0, 5)$$ Comprobamos si son perpendiculares mediante el producto escalar: $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (3 \cdot 0) + (4 \cdot 0) + (0 \cdot 5) = 0$$ Al ser perpendiculares y tener la misma longitud ($|\vec{AB}| = \sqrt{3^2+4^2}=5$ y $|\vec{AC}| = 5$), el vértice $A$ es el ángulo recto del cuadrado que forma la cara $S$. Para hallar el cuarto vértice $D$, sumamos ambos vectores al punto $A$ (siguiendo la regla del paralelogramo): $$D = A + \vec{AB} + \vec{AC} = (2, 1, 0) + (3, 4, 0) + (0, 0, 5) = (5, 5, 5)$$ 💡 **Tip:** En un cuadrado $ABDC$, si conocemos el vértice común $A$, el vértice opuesto $D$ se obtiene como $\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{AB} + \vec{AC}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{D(5, 5, 5)}$$

**b) La ecuación del plano $\pi$ que contiene la cara opuesta de $S$. (1 punto)** El plano $\pi$ es paralelo a la cara $S$ y contiene al punto $E(-2, 4, 0)$. El vector normal del plano $\pi$ será el mismo que el de la cara $S$, el cual podemos obtener mediante el producto vectorial $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$: $$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{vmatrix} = \vec{i}(20-0) - \vec{j}(15-0) + \vec{k}(0-0) = (20, -15, 0)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo por $5$: $\vec{n} = (4, -3, 0)$. La ecuación general del plano será de la forma $4x - 3y + D = 0$. Imponemos que pase por $E(-2, 4, 0)$: $$4(-2) - 3(4) + D = 0 \implies -8 - 12 + D = 0 \implies D = 20$$ 💡 **Tip:** Dos planos son paralelos si tienen vectores normales proporcionales. Solo se diferencia el término independiente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi: 4x - 3y + 20 = 0}$$

**c) ¿Cuál es el vértice de la cara $S$ adyacente a $E$? (0.5 puntos)** En un cubo, la arista que une una cara con su cara opuesta es perpendicular a ambas. Por tanto, el vector que une $E$ con su vértice adyacente en $S$ debe ser paralelo al vector normal $\vec{n} = (4, -3, 0)$. Probamos con el vértice $A(2, 1, 0)$ calculando el vector $\vec{AE}$: $$\vec{AE} = E - A = (-2 - 2, 4 - 1, 0 - 0) = (-4, 3, 0)$$ Observamos que $\vec{AE} = -1 \cdot (4, -3, 0)$, lo que significa que $\vec{AE}$ es paralelo al vector normal. Esto confirma que el segmento $AE$ es una arista del cubo. Si probáramos con $B$, $C$ o $D$, veríamos que los vectores resultantes no son paralelos a $\vec{n}$. Por ejemplo: $$\vec{BE} = E - B = (-2-5, 4-5, 0-0) = (-7, -1, 0) \quad (\text{no es paralelo a } \vec{n})$$ 💡 **Tip:** El vértice adyacente en la cara opuesta siempre se encuentra en la dirección de la normal del plano que contiene la cara. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El vértice adyacente a } E \text{ es } A(2, 1, 0)}$$