Límites por L'Hôpital e integración por partes con condición inicial

**a) $\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(x) - x e^x}{x^2 - 2 \cos(x) + 2}$ (1.25 puntos)** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x = 0$ para comprobar si existe una indeterminación: $$\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(0) - 0 \cdot e^0}{0^2 - 2 \cos(0) + 2} = \frac{0 - 0}{0 - 2 + 2} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, por lo que podemos aplicar la **Regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador de forma independiente. 💡 **Tip:** Recuerda que la Regla de L'Hôpital solo se aplica si el límite resulta en $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$.

Derivamos el numerador $N(x) = \text{sen}(x) - x e^x$ y el denominador $D(x) = x^2 - 2 \cos(x) + 2$: - $N'(x) = \cos(x) - (1 \cdot e^x + x e^x) = \cos(x) - e^x - x e^x$ - $D'(x) = 2x - 2(-\text{sen}(x)) = 2x + 2\text{sen}(x)$ Calculamos el nuevo límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - e^x - x e^x}{2x + 2\text{sen}(x)} = \frac{\cos(0) - e^0 - 0 \cdot e^0}{2(0) + 2\text{sen}(0)} = \frac{1 - 1 - 0}{0 + 0} = \frac{0}{0}$$ Como volvemos a obtener la indeterminación $\frac{0}{0}$, aplicamos la Regla de L'Hôpital por segunda vez.

Derivamos de nuevo: - $N''(x) = -\text{sen}(x) - e^x - (e^x + x e^x) = -\text{sen}(x) - 2e^x - x e^x$ - $D''(x) = 2 + 2\cos(x)$ Calculamos el límite final: $$\lim_{x \to 0} \frac{-\text{sen}(x) - 2e^x - x e^x}{2 + 2\cos(x)} = \frac{-\text{sen}(0) - 2e^0 - 0 \cdot e^0}{2 + 2\cos(0)} = \frac{0 - 2 - 0}{2 + 2(1)} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado del límite:** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(x) - x e^x}{x^2 - 2 \cos(x) + 2} = -\frac{1}{2}}$$

**b) Una primitiva de la función $f(x) = x \cos(x) - e^{-x}$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 3)$. (1.25 puntos)** Buscamos la función $F(x) = \int f(x) \, dx$. Por la propiedad de linealidad de la integral: $$F(x) = \int (x \cos(x) - e^{-x}) \, dx = \int x \cos(x) \, dx - \int e^{-x} \, dx$$ La segunda integral es inmediata: $$\int e^{-x} \, dx = -e^{-x} + C$$ Para la primera integral, $\int x \cos(x) \, dx$, utilizaremos el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla nemotécnica común es "Un Día Vi Una Vaca Sin Cola Vestida De Uniforme".

Para $\int x \cos(x) \, dx$, elegimos los términos siguiendo la regla ALPES (Polinómica antes que Trigonométrica): - $u = x \implies du = dx$ - $dv = \cos(x) \, dx \implies v = \text{sen}(x)$ Aplicando la fórmula: $$\int x \cos(x) \, dx = x \text{sen}(x) - \int \text{sen}(x) \, dx = x \text{sen}(x) - (-\cos(x)) = x \text{sen}(x) + \cos(x)$$ Ahora combinamos ambas partes para obtener la primitiva general $F(x)$: $$F(x) = x \text{sen}(x) + \cos(x) - (-e^{-x}) + C$$ $$F(x) = x \text{sen}(x) + \cos(x) + e^{-x} + C$$

Sabemos que la gráfica de $F(x)$ pasa por el punto $(0, 3)$, lo que significa que $F(0) = 3$: $$F(0) = 0 \cdot \text{sen}(0) + \cos(0) + e^{-0} + C = 3$$ $$0 + 1 + 1 + C = 3$$ $$2 + C = 3 \implies C = 1$$ Sustituimos el valor de $C$ en la expresión de la primitiva. ✅ **Resultado de la primitiva:** $$\boxed{F(x) = x \text{sen}(x) + \cos(x) + e^{-x} + 1}$$