Estudio completo de una función racional

**a) Estudia y calcula su dominio de definición y sus asíntotas. (1.25 puntos)** La función $f(x) = \frac{2x^3 + 1}{x^2}$ es una función racional. El dominio de una función racional es todo $\mathbb{R}$ excepto los valores que anulan el denominador. Igualamos el denominador a cero: $$x^2 = 0 \implies x = 0$$ Por lo tanto, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en las funciones racionales los puntos que no pertenecen al dominio son los candidatos principales para albergar asíntotas verticales. $$\boxed{\text{Dom}(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)}$$

Para comprobar si existe una asíntota vertical en $x=0$, calculamos el límite de la función cuando $x \to 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{2x^3 + 1}{x^2} = \frac{2(0)^3 + 1}{0^2} = \frac{1}{0} = +\infty$$ Como el límite es infinito (específicamente $+\infty$ tanto por la izquierda como por la derecha ya que $x^2$ es siempre positivo), existe una asíntota vertical. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = 0}$$

**Asíntotas horizontales:** Calculamos el límite al infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^3 + 1}{x^2} = \pm\infty$$ Como el límite no es un valor finito, **no hay asíntotas horizontales**. **Asíntotas oblicuas ($y = mx + n$):** Como el grado del numerador es exactamente uno mayor que el del denominador ($3 = 2 + 1$), existe una asíntota oblicua. Podemos hallarla mediante la división polinómica o mediante límites. **Método 1: División polinómica** $$f(x) = \frac{2x^3 + 1}{x^2} = \frac{2x^3}{x^2} + \frac{1}{x^2} = 2x + \frac{1}{x^2}$$ Cuando $x \to \infty$, el término $\frac{1}{x^2} \to 0$, por lo que la función se aproxima a la recta $y = 2x$. **Método 2: Límites** $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 1}{x^3} = 2$$ $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x^3 + 1}{x^2} - 2x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 1 - 2x^3}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0$$ ✅ **Resultado (AO):** $$\boxed{y = 2x}$$

**b) Halla, si existen: máximos y mínimos relativos y calcula sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (0.75 puntos)** Para estudiar la monotonía, calculamos la derivada $f'(x)$. Usamos la regla del cociente o derivamos la expresión simplificada $f(x) = 2x + x^{-2}$: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x + x^{-2}) = 2 - 2x^{-3} = 2 - \frac{2}{x^3}$$ Operando para tener una sola fracción: $$f'(x) = \frac{2x^3 - 2}{x^3} = \frac{2(x^3 - 1)}{x^3}$$ Buscamos los puntos críticos haciendo $f'(x) = 0$: $$2(x^3 - 1) = 0 \implies x^3 = 1 \implies x = 1$$ 💡 **Tip:** Para estudiar el signo de la derivada, debemos tener en cuenta tanto los puntos donde $f'(x)=0$ como los puntos donde la función no existe (en este caso, $x=0$).

Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio y el punto crítico: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ y $(1, +\infty)$. $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline 2(x^3-1) & - & - & - & 0 & + \\ x^3 & - & 0 & + & + & + \\ \hline f'(x) & + & \nexists & - & 0 & + \\ \text{Monotonía} & \nearrow & \text{AV} & \searrow & \min & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 0)$, $f'(x) \gt 0$, la función es **creciente**. - En $(0, 1)$, $f'(x) \lt 0$, la función es **decreciente**. - En $(1, +\infty)$, $f'(x) \gt 0$, la función es **creciente**. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (-\infty, 0) \cup (1, +\infty), \quad \text{Decrecimiento: } (0, 1)}$$

A partir del estudio anterior, observamos que en $x=1$ la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. Calculamos la ordenada sustituyendo en $f(x)$: $$f(1) = \frac{2(1)^3 + 1}{1^2} = \frac{3}{1} = 3$$ En $x=0$ no hay extremo porque la función no está definida (hay una asíntota vertical). ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (1, 3). \quad \text{No existen máximos relativos.}}$$

**c) Haz un esbozo de su gráfica. (0.5 puntos)** Para el esbozo unimos toda la información obtenida: 1. Dominio: $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. 2. Asíntota Vertical: $x = 0$ (la función tiende a $+\infty$ por ambos lados). 3. Asíntota Oblicua: $y = 2x$. 4. Mínimo relativo en $(1, 3)$. 5. Corte con eje $X$: $2x^3 + 1 = 0 \implies x^3 = -1/2 \implies x = \sqrt[3]{-1/2} \approx -0.79$. Aquí tienes la representación interactiva: ```interactive { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=\\frac{2x^3+1}{x^2}", "color": "#2563eb" }, { "id": "av", "latex": "x=0", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "ao", "latex": "y=2x", "color": "#16a34a", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "min", "latex": "(1,3)", "color": "#000000", "label": "Mínimo (1,3)", "showLabel": true } ], "bounds": { "left": -5, "right": 5, "bottom": -5, "top": 10 } } } ```