Determinante con propiedades, invertibilidad e inversa

**a) Calcula su determinante aplicando sus propiedades y estudia cuándo es invertible la matriz. (1.5 puntos)** Para calcular el determinante de $A$, aplicamos propiedades de los determinantes para simplificar la matriz y facilitar el cálculo. En este caso, restamos la segunda columna a la primera ($C_1 \to C_1 - C_2$): $$\det(A) = \begin{vmatrix} x + 1 & x + 1 & x - 2 \\ x & x & 2 - x \\ x & x - 1 & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & x + 1 & x - 2 \\ 0 & x & 2 - x \\ 1 & x - 1 & x \end{vmatrix}$$ Ahora desarrollamos por los elementos de la primera columna, ya que tiene dos ceros: $$\det(A) = 1 \cdot (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} x + 1 & x - 2 \\ x & 2 - x \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante de orden 2: $$\det(A) = (x + 1)(2 - x) - x(x - 2)$$ Operamos los productos: $$\det(A) = (2x - x^2 + 2 - x) - (x^2 - 2x) = -x^2 + x + 2 - x^2 + 2x = -2x^2 + 3x + 2$$ 💡 **Tip:** Aplicar propiedades como hacer ceros en una fila o columna simplifica enormemente el cálculo del determinante y reduce la probabilidad de errores en las operaciones polinómicas. $$\boxed{\det(A) = -2x^2 + 3x + 2}$$

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Buscamos los valores de $x$ que anulan el determinante resolviendo la ecuación de segundo grado: $$-2x^2 + 3x + 2 = 0$$ Aplicamos la fórmula general: $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(-2)(2)}}{2(-2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{-4} = \frac{-3 \pm 5}{-4}$$ Obtenemos dos soluciones: 1. $x_1 = \frac{-3 + 5}{-4} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$ 2. $x_2 = \frac{-3 - 5}{-4} = \frac{-8}{-4} = 2$ 💡 **Tip:** Recuerda que la condición de invertibilidad es $\det(A) \neq 0$. Si el determinante es cero, la matriz es singular (no tiene inversa). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz } A \text{ es invertible para todo } x \in \mathbb{R} \setminus \{-1/2, 2\}}$$

**b) Para $x = 1$, calcula su inversa. (1 punto)** Primero, sustituimos $x = 1$ en la matriz $A$ y calculamos su determinante para ese valor: $$A = \begin{pmatrix} 1 + 1 & 1 + 1 & 1 - 2 \\ 1 & 1 & 2 - 1 \\ 1 & 1 - 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ El determinante para $x=1$ es: $$\det(A)_{x=1} = -2(1)^2 + 3(1) + 2 = -2 + 3 + 2 = 3$$ Como $\det(A) \neq 0$, la inversa existe. La fórmula de la matriz inversa es: $$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A)^t$$ 💡 **Tip:** Es fundamental verificar primero que el determinante no sea cero antes de lanzarse a calcular adjuntos.

Calculamos los adjuntos de los elementos de la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$: $$A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1, \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$$ $$A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -2, \quad A_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3, \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 2$$ $$A_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3, \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -3, \quad A_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ La matriz de adjuntos es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -2 & 3 & 2 \\ 3 & -3 & 0 \end{pmatrix}$$ Transponemos la matriz de adjuntos: $$\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & -3 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Presta mucha atención a la alternancia de signos ($+ - +$) al calcular los adjuntos.

Finalmente, dividimos la matriz adjunta transpuesta por el valor del determinante ($\det(A) = 3$): $$A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & -3 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Si expresamos los elementos divididos: $$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/3 & -2/3 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1/3 & 2/3 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 \end{pmatrix}}$$