Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**a) Estudia su compatibilidad según los valores de $a$. (1.5 puntos)** Escribimos el sistema en forma matricial para aplicar el Teorema de Rouché-Frobenius. El sistema tiene 3 ecuaciones y 2 incógnitas ($x, y$): Matriz de coeficientes $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2-a & 2 \\ a & 0 \end{pmatrix}$$ Matriz ampliada $A^*$: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 2-a & 2 & 1 \\ a & 0 & a \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En sistemas con más ecuaciones que incógnitas, empezamos analizando el determinante de la matriz ampliada $A^*$ (si es cuadrada) para ver cuándo las ecuaciones son linealmente independientes.

Como $A^*$ es una matriz $3 \times 3$, calculamos su determinante $|A^*|$ para determinar su rango: $$|A^*| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 2-a & 2 & 1 \\ a & 0 & a \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera fila (que tiene un cero): $$|A^*| = a \cdot \begin{vmatrix} 1 & a \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & a \\ 2-a & 1 \end{vmatrix} + a \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2-a & 2 \end{vmatrix}$$ $$|A^*| = a(1 - 2a) + a(2 - (2-a)) = a(1-2a) + a(2 - 2 + a)$$ $$|A^*| = a - 2a^2 + a(a) = a - 2a^2 + a^2 = a - a^2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$a - a^2 = 0 \implies a(1 - a) = 0 \implies a = 0, \quad a = 1.$$ 💡 **Tip:** Si $|A^*| \neq 0$, entonces $\text{rg}(A^*) = 3$. Como el número de incógnitas es 2, el rango de $A$ nunca podrá ser 3, lo que implica que el sistema será incompatible.

Si $a \neq 0$ y $a \neq 1$, entonces $|A^*| \neq 0$. Esto implica que $\text{rg}(A^*) = 3$. Dado que $A$ es una matriz de $3 \times 2$, su rango máximo es 2. Por tanto, $\text{rg}(A) \lt \text{rg}(A^*)$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 0, 1 \implies \text{Sistema Incompatible}}$$

Sustituimos $a = 0$ en las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ - Analizamos $\text{rg}(A)$: Las dos primeras filas son proporcionales ($F_2 = 2F_1$) y la tercera es nula. Por tanto, **$\text{rg}(A) = 1$**. - Analizamos $\text{rg}(A^*)$: Existe un menor de orden 2 no nulo $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$, por lo que **$\text{rg}(A^*) = 2$**. Como $\text{rg}(A) = 1 \neq \text{rg}(A^*) = 2$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 0 \implies \text{Sistema Incompatible}}$$

Sustituimos $a = 1$ en las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ - Analizamos $\text{rg}(A)$: Tomamos el menor superior $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1 \neq 0$. Por tanto, **$\text{rg}(A) = 2$**. - Analizamos $\text{rg}(A^*)$: Observamos que la columna 1 y la columna 3 son idénticas ($C_1 = C_3$). Por tanto, el determinante de cualquier menor $3 \times 3$ será 0 y el rango no puede ser 3. Como ya tenemos un menor de orden 2 no nulo en $A$, **$\text{rg}(A^*) = 2$**. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 = \text{nº de incógnitas}$, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 1 \implies \text{Sistema Compatible Determinado}}$$

**b) Resuélvelo cuando sea posible. (1 punto)** El sistema solo es compatible para $a = 1$. Sustituimos el valor en el sistema original: $$\begin{cases} x + y = 1 \\ x + 2y = 1 \\ x = 1 \end{cases}$$ De la tercera ecuación obtenemos directamente: $$x = 1$$ Sustituimos $x = 1$ en la primera ecuación: $$1 + y = 1 \implies y = 1 - 1 \implies y = 0$$ Comprobamos en la segunda ecuación: $$1 + 2(0) = 1 \implies 1 = 1 \quad \text{(Se cumple)}$$ La solución es única. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 1, \quad y = 0}$$