Probabilidad y Estadística 2020 Asturias
Probabilidad total y aproximación de la binomial por la normal
Bloque 4.B Los 5 defensas, 3 medios y 2 delanteros de un equipo de fútbol se entrenan lanzando penaltis a su portero. Los defensas marcan gol la mitad de las veces, los medios las 2/3 partes de las veces y los delanteros las 3/4 partes de las veces.
a) Se elige un jugador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que meta el penalti? (1.25 puntos)
b) Se supone que la probabilidad del apartado anterior es del 60 %. El equipo realiza en una semana 600 lanzamientos. En cada lanzamiento se elige un jugador al azar y regresa al grupo pudiendo ser elegido nuevamente. Calcula la probabilidad de que como mucho se metan 400 goles aproximando la distribución por una normal. (1.25 puntos)
(Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: $F(3.25) = 0.9994, F(3.2917) = 0.9995, F(3.3333) = 0.9996, F(3.375) = 0.9996, F(3.4167) = 0.9997$)
Paso 1
Definición de eventos y construcción del árbol de probabilidad
**a) Se elige un jugador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que meta el penalti? (1.25 puntos)**
Primero definimos los eventos según la posición del jugador elegido y si marca gol o no:
- $D$: El jugador es defensa.
- $M$: El jugador es medio.
- $De$: El jugador es delantero.
- $G$: El jugador mete gol.
- $\bar{G}$: El jugador no mete gol.
Calculamos las probabilidades de elegir a cada tipo de jugador sobre un total de $5+3+2 = 10$ jugadores:
- $P(D) = \dfrac{5}{10} = 0.5$
- $P(M) = \dfrac{3}{10} = 0.3$
- $P(De) = \dfrac{2}{10} = 0.2$
Las probabilidades condicionadas de marcar gol son:
- $P(G|D) = \dfrac{1}{2} = 0.5$
- $P(G|M) = \dfrac{2}{3} \approx 0.667$
- $P(G|De) = \dfrac{3}{4} = 0.75$
Representamos la situación en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total
Para calcular la probabilidad de marcar gol $P(G)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(G) = P(D) \cdot P(G|D) + P(M) \cdot P(G|M) + P(De) \cdot P(G|De)$$
Sustituimos los valores:
$$P(G) = 0.5 \cdot 0.5 + 0.3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right) + 0.2 \cdot 0.75$$
$$P(G) = 0.25 + 0.2 + 0.15 = 0.6$$
💡 **Tip:** El teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso que puede ocurrir a través de varias ramas o caminos excluyentes entre sí.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(G) = 0.6}$$
Paso 3
Identificación de la distribución binomial
**b) Se supone que la probabilidad del apartado anterior es del 60 %. El equipo realiza en una semana 600 lanzamientos. En cada lanzamiento se elige un jugador al azar y regresa al grupo pudiendo ser elegido nuevamente. Calcula la probabilidad de que como mucho se metan 400 goles aproximando la distribución por una normal. (1.25 puntos)**
Tenemos un experimento de Bernoulli (meter gol o no) que se repite $n=600$ veces de forma independiente (ya que el jugador elegido regresa al grupo).
Definimos la variable aleatoria $X$: "número de goles marcados en 600 lanzamientos".
Esta variable sigue una distribución binomial:
$$X \sim B(n, p) = B(600, 0.6)$$
Donde $p = 0.6$ (probabilidad de éxito) y $q = 1 - p = 0.4$ (probabilidad de fracaso).
Paso 4
Aproximación de la Binomial por la Normal
Para aproximar una binomial por una normal $N(\mu, \sigma)$, debemos comprobar si se cumplen las condiciones de validez:
1. $n \cdot p = 600 \cdot 0.6 = 360 > 5$
2. $n \cdot q = 600 \cdot 0.4 = 240 > 5$
Como se cumplen, podemos realizar la aproximación. Calculamos los parámetros de la normal:
- Media: $\mu = n \cdot p = 360$
- Desviación típica: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{600 \cdot 0.6 \cdot 0.4} = \sqrt{144} = 12$
Por tanto, $X$ se aproxima por una variable normal $X' \sim N(360, 12)$.
💡 **Tip:** Recuerda que para que la aproximación sea buena, tanto $np$ como $nq$ deben ser mayores que 5 (algunos autores exigen que sean mayores que 10).
Paso 5
Cálculo de la probabilidad con corrección de continuidad
Se nos pide la probabilidad de que se metan "como mucho" 400 goles, es decir, $P(X \le 400)$.
Al pasar de una distribución discreta (Binomial) a una continua (Normal), aplicamos la **corrección de continuidad de Yates**:
$$P(X \le 400) \approx P(X' \le 400.5)$$
Ahora tipificamos la variable para poder usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0,1)$:
$$Z = \frac{X' - \mu}{\sigma} = \frac{400.5 - 360}{12} = \frac{40.5}{12} = 3.375$$
Entonces:
$$P(X' \le 400.5) = P(Z \le 3.375)$$
Buscamos el valor en los datos proporcionados por el enunciado:
$F(3.375) = 0.9996$
💡 **Tip:** La corrección de continuidad consiste en sumar o restar $0.5$ al valor discreto para abarcar el área completa del rectángulo de la distribución binomial.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X \le 400) \approx 0.9996}$$