Probabilidad condicionada e independencia

**a) $P(B/A)$. (1 punto)** En primer lugar, obtenemos la probabilidad del suceso $A$ a partir de la probabilidad de su suceso contrario $\bar{A}$: $$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 0.2 = 0.8$$ A continuación, aplicamos la definición de **probabilidad condicionada** para calcular $P(B/A)$: $$P(B/A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(B/A) = \frac{0.3}{0.8} = \frac{3}{8} = 0.375$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad del suceso contrario siempre cumple $P(A) + P(\bar{A}) = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B/A) = 0.375}$$

**b) $P(B)$. (1 punto)** El enunciado nos indica que $P(A/B) = P(B/A)$. Desarrollemos ambos lados de la igualdad usando la definición de probabilidad condicionada: 1. $P(A/B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ 2. $P(B/A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ Igualamos ambas expresiones: $$\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$ Como $P(A \cap B) = 0.3 \neq 0$, podemos simplificar la ecuación dividiendo ambos miembros por $P(A \cap B)$: $$\frac{1}{P(B)} = \frac{1}{P(A)} \implies P(B) = P(A)$$ Dado que en el paso anterior calculamos que $P(A) = 0.8$, entonces: $$P(B) = 0.8$$ 💡 **Tip:** Si las probabilidades condicionadas $P(A/B)$ y $P(B/A)$ son iguales, y la intersección no es nula, las probabilidades de los sucesos individuales $P(A)$ y $P(B)$ deben ser idénticas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B) = 0.8}$$

**c) ¿Son los sucesos independientes? (0.5 puntos)** Para comprobar si dos sucesos $A$ y $B$ son independientes, debemos verificar si se cumple la siguiente condición: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Calculamos el producto de las probabilidades individuales: $$P(A) \cdot P(B) = 0.8 \cdot 0.8 = 0.64$$ Comparamos este resultado con la probabilidad de la intersección proporcionada en el enunciado: - $P(A \cap B) = 0.3$ - $P(A) \cdot P(B) = 0.64$ Como $0.3 \neq 0.64$, se concluye que: $$P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$$ 💡 **Tip:** Dos sucesos son independientes si el hecho de que ocurra uno no altera la probabilidad de que ocurra el otro, lo que matemáticamente se traduce en que la probabilidad de la intersección es el producto de sus probabilidades. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los sucesos } A \text{ y } B \text{ NO son independientes.}}$$