Geometría de un prisma triangular: puntos, distancias y volumen

**a) Las coordenadas de los puntos restantes: $A', B$. (0.75 puntos)** En un prisma triangular, las aristas laterales son paralelas e iguales. Esto significa que los vectores que unen vértices correspondientes de las bases son idénticos: $\vec{AA'} = \vec{BB'} = \vec{CC'}$. Primero, calculamos el vector director de las aristas a partir de los puntos $C$ y $C'$: $$\vec{CC'} = C' - C = (0, 4, 2) - (0, 3, 0) = (0, 1, 2)$$ Ahora, utilizamos este vector para hallar $A'$ a partir de $A(1, 0, 0)$: $$A' = A + \vec{AA'} = (1, 0, 0) + (0, 1, 2) = (1, 1, 2)$$ Para hallar $B$, usamos que $B'(-1, 2, 2)$ es el extremo del vector $\vec{BB'}$: $$B' = B + \vec{BB'} \implies B = B' - \vec{BB'} = (-1, 2, 2) - (0, 1, 2) = (-1, 1, 0)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en un prisma, el vector de traslación entre bases es el mismo para todos los vértices. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A'(1, 1, 2), \quad B(-1, 1, 0)}$$

**b) La distancia entre los planos $\pi$ y $\pi'$. (0.75 puntos)** Para calcular la distancia entre los dos planos paralelos, primero necesitamos la ecuación del plano $\pi$ (que contiene a $A, B$ y $C$). Obtenemos dos vectores directores del plano $\pi$: $$\vec{AB} = B - A = (-1 - 1, 1 - 0, 0 - 0) = (-2, 1, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0 - 1, 3 - 0, 0 - 0) = (-1, 3, 0)$$ El vector normal $\vec{n}$ se obtiene mediante el producto vectorial: $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{n} = [ (1 \cdot 0) - (3 \cdot 0) ]\mathbf{i} - [ (-2 \cdot 0) - (-1 \cdot 0) ]\mathbf{j} + [ (-2 \cdot 3) - (-1 \cdot 1) ]\mathbf{k}$$ $$\vec{n} = 0\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + (-6 + 1)\mathbf{k} = (0, 0, -5)$$ Podemos usar como vector normal simplificado $\vec{n} = (0, 0, 1)$. La ecuación del plano es de la forma $0x + 0y + 1z + D = 0$. Como pasa por $A(1, 0, 0)$: $$0(1) + 0(0) + 1(0) + D = 0 \implies D = 0$$ Ecuación del plano $\pi$: **$z = 0$**.

Al ser planos paralelos (ambos horizontales en este caso), la distancia es la diferencia de sus alturas o podemos calcular la distancia de un punto de $\pi'$ (como $C'$) al plano $\pi$. Dada la ecuación del plano $\pi: z = 0$ y el punto $C'(0, 4, 2)$: $$d(\pi, \pi') = d(C', \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ $$d(C', \pi) = \frac{|1 \cdot 2|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{2}{1} = 2 \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** Si los planos son muy sencillos (como $z=0$ y $z=2$), la distancia es simplemente la diferencia entre sus términos independientes si los vectores normales están normalizados. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(\pi, \pi') = 2}$$

**c) El volumen del prisma triangular. (1 punto)** El volumen de un prisma se calcula como el área de la base multiplicada por la altura (la distancia perpendicular entre las bases). **1. Área de la base ($A_{base}$):** El área del triángulo $ABC$ es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus vectores directores: $$A_{base} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ Ya calculamos $\vec{AB} \times \vec{AC} = (0, 0, -5)$ en el apartado anterior. $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-5)^2} = 5$$ $$A_{base} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ u}^2$$ **2. Altura ($h$):** La altura es la distancia entre los planos calculada en el apartado b): $h = 2$. **3. Volumen ($V$):** $$V = A_{base} \cdot h = 2.5 \cdot 2 = 5 \text{ u}^3$$ 💡 **Tip:** También podrías calcular el volumen usando el producto mixto: $V = \frac{1}{2} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AA'}]|$, que corresponde a la mitad del volumen del paralelepípedo definido por esos tres vectores. ✅ **Resultado:** $$\boxed{V = 5 \text{ u}^3}$$