Geometría: Rectas y Planos en el Espacio

**a) Calcula un vector director de la recta $r$. (0.75 puntos)** La recta $r$ viene dada como la intersección de dos planos. Sus vectores normales son: $$\vec{n}_1 = (1, 1, 0) \quad \text{y} \quad \vec{n}_2 = (0, 1, 1)$$ El vector director de la recta, $\vec{v}_r$, se puede obtener mediante el producto vectorial de los vectores normales a los planos que la definen: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por la regla de Sarrus o desarrollo por la primera fila: $$\vec{v}_r = \vec{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \vec{k}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0)$$ $$\vec{v}_r = \vec{i}(1) - \vec{j}(1) + \vec{k}(1) = (1, -1, 1)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de los vectores normales a dos planos que se cortan siempre nos da la dirección de la recta de intersección. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\vec{v}_r = (1, -1, 1)}$$

Para hallar el plano $\pi$ que contiene a $A$ y a $r$, necesitamos un punto de la recta $r$ y dos vectores directores no paralelos que pertenezcan al plano. 1. **Punto de $r$ ($P_r$):** Damos un valor a una de las variables en las ecuaciones de $r$. Si hacemos $y = 0$: $$x + 0 = 2 \implies x = 2$$ $$0 + z = 0 \implies z = 0$$ Así, obtenemos el punto $P_r(2, 0, 0)$. 2. **Vector auxiliar ($\vec{AP_r}$):** Un vector que une el punto $A(2, 1, 1)$ con el punto $P_r(2, 0, 0)$ es: $$\vec{AP_r} = P_r - A = (2-2, 0-1, 0-1) = (0, -1, -1)$$ 💡 **Tip:** Para definir un plano que contiene a una recta y un punto exterior, usamos el vector director de la recta y el vector formado por el punto dado y un punto cualquiera de la recta.

**b) La ecuación del plano $\pi$ que contiene al punto $A$ y a la recta $r$. (0.75 puntos)** El plano $\pi$ pasa por $A(2, 1, 1)$ y tiene como vectores directores $\vec{v}_r = (1, -1, 1)$ y $\vec{AP_r} = (0, -1, -1)$. La ecuación implícita se obtiene igualando a cero el determinante formado por un punto genérico $X(x, y, z)$: $$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z-1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante: $$(x-2)((-1)(-1) - (1)(-1)) - (y-1)((1)(-1) - (1)(0)) + (z-1)((1)(-1) - (-1)(0)) = 0$$ $$(x-2)(1 + 1) - (y-1)(-1) + (z-1)(-1) = 0$$ $$2(x-2) + 1(y-1) - 1(z-1) = 0$$ $$2x - 4 + y - 1 - z + 1 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi : 2x + y - z - 4 = 0}$$

**c) La ecuación de la recta $s$ contenida en $\pi$ que pasa por $A$ y es perpendicular a $r$. (1 punto)** Para que la recta $s$ cumpla las condiciones: 1. Debe ser perpendicular a $r$, por lo que su vector director $\vec{v}_s$ debe ser perpendicular a $\vec{v}_r = (1, -1, 1)$. 2. Al estar contenida en $\pi$, su vector director $\vec{v}_s$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi = (2, 1, -1)$. Por tanto, $\vec{v}_s$ se obtiene con el producto vectorial de $\vec{v}_r$ y $\vec{n}_\pi$: $$\vec{v}_s = \vec{v}_r \times \vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_s = \vec{i}(1 - 1) - \vec{j}(-1 - 2) + \vec{k}(1 - (-2))$$ $$\vec{v}_s = 0\vec{i} + 3\vec{j} + 3\vec{k} = (0, 3, 3)$$ Podemos simplificar el vector director usando $\vec{v}_s = (0, 1, 1)$. 💡 **Tip:** Si una recta está contenida en un plano y es perpendicular a otra recta del mismo plano, su dirección es la del producto vectorial entre el vector director de la recta conocida y el normal del plano.

La recta $s$ pasa por el punto $A(2, 1, 1)$ y tiene vector director $\vec{v}_s = (0, 1, 1)$. Podemos expresar la recta en forma paramétrica: $$s : \begin{cases} x = 2 \\ y = 1 + \lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}$$ O en forma continua: $$s : \frac{x-2}{0} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{1}$$ *(Nota: la expresión con 0 en el denominador es una notación formal que indica $x-2=0$)*. ✅ **Resultado:** $$\boxed{s : \begin{cases} x = 2 \\ y = 1 + \lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}}$$