Área entre parábolas

**a) Su gráfica determina con el eje de abscisas un recinto limitado $D$. Calcula su área. (1 punto)** Primero, hallamos los puntos de corte de la función $f(x) = 4 - x^2$ con el eje de abscisas (donde $y = 0$): $$4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$ La función es una parábola cóncava (hacia abajo) que corta al eje $X$ en $x = -2$ y $x = 2$. Por tanto, el recinto $D$ está limitado en el intervalo $[-2, 2]$. 💡 **Tip:** Para hallar el área encerrada por una función y el eje $X$, resolvemos la ecuación $f(x)=0$ para determinar los límites de integración.

El área $A(D)$ se calcula mediante la integral definida de la función en el intervalo $[-2, 2]$: $$A(D) = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$\int (4 - x^2) \, dx = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2}$$ Evaluamos en los límites: $$A(D) = \left( 4(2) - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right)$$ $$A(D) = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right)$$ $$A(D) = \frac{16}{3} - \left( -\frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado del área D:** $$\boxed{A(D) = \frac{32}{3} \approx 10.67 \text{ u}^2}$$

**b) La gráfica de la función $g(x) = 3x^2$ divide $D$ en tres partes $D_1, D_2$ y $D_3$. Haz un dibujo de los tres recintos. (0.75 puntos)** Para dibujar los recintos, buscamos los puntos de corte entre $f(x) = 4 - x^2$ y $g(x) = 3x^2$: $$4 - x^2 = 3x^2 \implies 4 = 4x^2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$$ Los puntos de intersección son $(-1, 3)$ y $(1, 3)$. La gráfica de $g(x)$ (una parábola convexa que pasa por el origen) divide al recinto original $D$ en: - $D_2$: El recinto central superior, delimitado por $f(x)$ arriba y $g(x)$ abajo. - $D_1$ y $D_3$: Los recintos laterales e inferiores, delimitados por las curvas y el eje $X$. Visualizamos el dibujo a continuación:

**c) Calcula el área del recinto $D_2$ que contiene al punto $P(0, 1)$. (0.75 puntos)** El punto $P(0, 1)$ se encuentra en el intervalo $x \in [-1, 1]$. En este intervalo, observamos que $f(0) = 4$ y $g(0) = 0$, por lo que $f(x) \ge g(x)$. El recinto $D_2$ es la región comprendida entre ambas parábolas desde $x = -1$ hasta $x = 1$. El área de $D_2$ es: $$A(D_2) = \int_{-1}^{1} [f(x) - g(x)] \, dx = \int_{-1}^{1} (4 - x^2 - 3x^2) \, dx$$ $$A(D_2) = \int_{-1}^{1} (4 - 4x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área entre dos funciones $h(x)$ y $k(x)$ en $[a, b]$ es $\int_{a}^{b} |h(x) - k(x)| \, dx$. Identificamos cuál está por encima para eliminar el valor absoluto.

Aplicamos la regla de Barrow: $$\int (4 - 4x^2) \, dx = \left[ 4x - \frac{4x^3}{3} \right]_{-1}^{1}$$ Evaluamos: $$A(D_2) = \left( 4(1) - \frac{4(1)^3}{3} \right) - \left( 4(-1) - \frac{4(-1)^3}{3} \right)$$ $$A(D_2) = \left( 4 - \frac{4}{3} \right) - \left( -4 + \frac{4}{3} \right)$$ $$A(D_2) = \frac{8}{3} - \left( -\frac{8}{3} \right) = \frac{16}{3} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A(D_2) = \frac{16}{3} \approx 5.33 \text{ u}^2}$$