Estudio completo de una función polinómica

**a) Halla los puntos de corte de la función con el eje de abscisas y, si existen, los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión. (1 punto)** Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas (eje $X$), igualamos la función a cero: $$f(x) = 0 \implies x^3 - 6x^2 + 9x = 0$$ Factorizamos extrayendo factor común $x$: $$x(x^2 - 6x + 9) = 0$$ Observamos que el paréntesis es una identidad notable $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$x(x - 3)^2 = 0$$ Las soluciones son $x = 0$ y $x = 3$ (raíz doble). 💡 **Tip:** Los puntos de corte en el eje $X$ siempre tienen la forma $(x, 0)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(0, 0) \text{ y } (3, 0)}$$

Para encontrar los máximos y mínimos, calculamos la primera derivada: $$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$3x^2 - 12x + 9 = 0 \implies 3(x^2 - 4x + 3) = 0$$ Resolviendo la ecuación de segundo grado $x^2 - 4x + 3 = 0$: $$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \implies x_1 = 1, x_2 = 3$$ Calculamos la segunda derivada para clasificar los puntos: $$f''(x) = 6x - 12$$ Evaluamos los puntos críticos en $f''(x)$: - Para $x = 1$: $f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0$ (**Máximo relativo**). - Para $x = 3$: $f''(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0$ (**Mínimo relativo**). Hallamos las ordenadas: $f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 4 \implies \mathbf{(1, 4)}$ $f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) = 0 \implies \mathbf{(3, 0)}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo: } (1, 4), \text{ Mínimo: } (3, 0)}$$

Para localizar los puntos de inflexión, igualamos la segunda derivada a cero: $$f''(x) = 6x - 12 = 0 \implies 6x = 12 \implies x = 2$$ Para confirmar que es un punto de inflexión, verificamos el cambio de signo de $f''(x)$ o que $f'''(x) \neq 0$: $f'''(x) = 6 \neq 0$. Calculamos la ordenada: $$f(2) = 2^3 - 6(2^2) + 9(2) = 8 - 24 + 18 = 2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Punto de inflexión: } (2, 2)}$$

**b) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad. Esboza una gráfica de la función. (1 punto)** Utilizamos las raíces de $f'(x) = 0$ ($x=1$ y $x=3$) para dividir el dominio: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, 3) & 3 & (3, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - **Crecimiento:** $(-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$ ya que $f'(x) > 0$. - **Decrecimiento:** $(1, 3)$ ya que $f'(x) < 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (-\infty, 1) \cup (3, +\infty), \text{ Decrecimiento: } (1, 3)}$$

Utilizamos la raíz de $f''(x) = 0$ ($x=2$) para analizar el signo de la segunda derivada: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f''(x) & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \cap & \text{P.I.} & \cup \end{array}$$ - **Concavidad (hacia abajo/convexa):** $(-\infty, 2)$ ya que $f''(x) < 0$. - **Convexidad (hacia arriba/cóncava):** $(2, +\infty)$ ya que $f''(x) > 0$. 💡 **Tip:** En algunos libros, a la forma $\cup$ se le llama cóncava y a la $\cap$ convexa; asegúrate de seguir la nomenclatura de tu región. Aquí usamos cóncava hacia arriba ($\cup$) y hacia abajo ($\cap$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Cóncava hacia abajo: } (-\infty, 2), \text{ Cóncava hacia arriba: } (2, +\infty)}$$

Con los puntos de corte $(0,0), (3,0)$, el máximo $(1,4)$, el mínimo $(3,0)$ y el punto de inflexión $(2,2)$, podemos esbozar la gráfica:

**c) Calcula la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x = 2$. (0.5 puntos)** La ecuación de la recta tangente es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. En este caso, $a = 2$. 1. Calculamos la imagen de la función: $f(2) = 2$ (calculado previamente). 2. Calculamos la pendiente ($m = f'(2)$): $$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \implies f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3$$ 3. Sustituimos en la fórmula: $$y - 2 = -3(x - 2)$$ $$y - 2 = -3x + 6 \implies y = -3x + 8$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = -3x + 8}$$