Rango de una matriz con parámetros y ecuación matricial

**a) Discute el rango de $A$ según los valores de $m \in \mathbb{R}$. (1 punto)** Para discutir el rango de una matriz cuadrada de orden 3, empezamos calculando su determinante para ver para qué valores de $m$ el rango es máximo (rango 3). Calculamos $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} m & 1 & 3 \\ 1 & m & 2 \\ 1 & m & 3 \end{vmatrix} = (m \cdot m \cdot 3) + (1 \cdot m \cdot 3) + (1 \cdot 1 \cdot 2) - (3 \cdot m \cdot 1) - (2 \cdot m \cdot m) - (3 \cdot 1 \cdot 1)$$ $$|A| = 3m^2 + 3m + 2 - 3m - 2m^2 - 3 = m^2 - 1.$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$m^2 - 1 = 0 \implies m^2 = 1 \implies m = \pm 1.$$ 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes. Si el determinante de una matriz $n \times n$ es distinto de cero, su rango es $n$.

Analizamos los casos según el valor de $m$: * **Caso 1: $m \neq 1$ y $m \neq -1$** En este caso, $|A| \neq 0$, por lo tanto, las tres filas son linealmente independientes. $$\text{rango}(A) = 3.$$ * **Caso 2: $m = 1$** La matriz queda: $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$. Vemos que la primera y la tercera fila son iguales ($F_1 = F_3$), por lo que el determinante es 0. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 2 = 1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2.$$ * **Caso 3: $m = -1$** La matriz queda: $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$. Vemos que las dos primeras columnas son proporcionales ($C_2 = -C_1$), por lo que el determinante es 0. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -2 - 3 = -5 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } m \neq \pm 1, \text{rango}(A) = 3 \\ \text{Si } m = 1 \text{ o } m = -1, \text{rango}(A) = 2 \end{cases}}$$

**b) ¿Qué dimensiones ha de tener la matriz $X$ para que sea posible la ecuación $A \cdot X = B$? (0.5 puntos)** Para que el producto de dos matrices sea posible, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda. Sea $X$ una matriz de dimensión $p \times q$: * La matriz $A$ tiene dimensión $3 \times 3$. * La matriz $B$ tiene dimensión $3 \times 2$. En la ecuación $A_{3 \times 3} \cdot X_{p \times q} = B_{3 \times 2}$: 1. Para poder multiplicar $A$ y $X$, el número de filas de $X$ debe ser igual al número de columnas de $A$, es decir, **$p = 3$**. 2. El resultado del producto $A \cdot X$ tendrá las dimensiones (filas de $A$) $\times$ (columnas de $X$), es decir, $3 \times q$. Como el resultado debe ser la matriz $B$ ($3 \times 2$), tenemos que **$q = 2$**. 💡 **Tip:** Si $A_{m \times n}$ y $X_{n \times p}$, entonces el producto $AX$ existe y es una matriz de dimensiones $m \times p$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X \text{ debe ser una matriz de dimensión } 3 \times 2}$$

**c) Calcula la matriz $X$ del apartado anterior para $m = 0$. (1 punto)** Si $m = 0$, hemos visto en el apartado (a) que $|A| = 0^2 - 1 = -1$. Como $|A| \neq 0$, la matriz $A$ es invertible y podemos despejar $X$ en la ecuación $A \cdot X = B$ multiplicando por la izquierda por $A^{-1}$: $$A^{-1} \cdot (A \cdot X) = A^{-1} \cdot B \implies I \cdot X = A^{-1} \cdot B \implies X = A^{-1} \cdot B.$$ Para $m = 0$, la matriz es: $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$. Procedemos a calcular $A^{-1}$ usando la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^T$.

Calculamos los adjuntos de los elementos de $A$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 0; \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(3-2) = -1; \quad A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = -(3-0) = -3; \quad A_{22} = +\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (0-3) = -3; \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(-1) = 1$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2; \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -(-3) = 3; \quad A_{33} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -3 & -3 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix} \implies \text{Adj}(A)^T = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 2 \\ -1 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Como $|A| = -1$: $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 0 & -3 & 2 \\ -1 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 \\ 1 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

Finalmente, calculamos $X = A^{-1} \cdot B$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 \\ 1 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 0(2)+3(1)-2(-1) & 0(2)+3(0)-2(2) \\ 1(2)+3(1)-3(-1) & 1(2)+3(0)-3(2) \\ 0(2)-1(1)+1(-1) & 0(2)-1(0)+1(2) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 3+2 & -4 \\ 2+3+3 & 2-6 \\ -1-1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 8 & -4 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 8 & -4 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}}$$