Sistema de ecuaciones: El problema de la papelería

**a) ¿Es posible determinar de forma única el precio del libro? ¿Y el de la calculadora? (1.25 puntos)** En primer lugar, definimos las variables que representan los precios iniciales de cada artículo en euros: - $x$: Precio del libro. - $y$: Precio de la calculadora. - $z$: Precio del estuche. A partir del enunciado, planteamos las ecuaciones: 1. El total es 57 €: $x + y + z = 57$ 2. El libro cuesta el doble que la calculadora y el estuche juntos: $x = 2(y + z)$ Reordenamos la segunda ecuación para tener el sistema en forma estándar: $$\begin{cases} x + y + z = 57 \\ x - 2y - 2z = 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para resolver problemas de enunciados, identifica claramente qué representa cada incógnita y traduce cada frase a una igualdad matemática.

Tenemos un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas. Vamos a analizarlo utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius. La matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ son: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 57 \\ 1 & -2 & -2 & 0 \end{array}\right)$$ Calculamos el rango de $A$ buscando un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -2 - 1 = -3 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Como el rango máximo posible es 2, $\text{rg}(A^*) = 2$. Al ser $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2$, pero el número de incógnitas es $n=3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. Esto significa que tiene infinitas soluciones para el conjunto $(x, y, z)$. Sin embargo, analicemos si alguna variable concreta tiene un valor único. De la segunda ecuación tenemos que $y + z = \frac{x}{2}$. Sustituimos esto en la primera: $$x + (y + z) = 57 \implies x + \frac{x}{2} = 57$$ $$\frac{3x}{2} = 57 \implies 3x = 114 \implies x = 38$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Es posible determinar de forma única el precio del libro (38 €), pero no el de la calculadora, ya que hay infinitas combinaciones de } y \text{ y } z \text{ que sumen 19.}}$$

**b) Además, si los precios del libro, la calculadora y el estuche hubieran sido, respectivamente, un 50 %, un 80 % y un 75 % de los precios iniciales de cada artículo, el estudiante habría pagado un total de 34 euros. Calcula el precio inicial de cada artículo. (1.25 puntos)** Añadimos la tercera condición al sistema. Los porcentajes se traducen a coeficientes decimales: - $50\% \text{ de } x \to 0,5x$ - $80\% \text{ de } y \to 0,8y$ - $75\% \text{ de } z \to 0,75z$ La nueva ecuación es: $0,5x + 0,8y + 0,75z = 34$. Como ya sabemos del apartado anterior que $\mathbf{x = 38}$, podemos sustituir este valor en la nueva ecuación y en la suma total para reducir el sistema a dos incógnitas ($y$ y $z$): 1. $38 + y + z = 57 \implies y + z = 19$ 2. $0,5(38) + 0,8y + 0,75z = 34 \implies 19 + 0,8y + 0,75z = 34 \implies 0,8y + 0,75z = 15$ 💡 **Tip:** Al sustituir una variable conocida, simplificamos el sistema de 3x3 a uno de 2x2, mucho más rápido de resolver.

Resolvemos el sistema: $$\begin{cases} y + z = 19 \\ 0,8y + 0,75z = 15 \end{cases}$$ Despejamos $z$ de la primera ecuación: $z = 19 - y$. Sustituimos en la segunda: $$0,8y + 0,75(19 - y) = 15$$ $$0,8y + 14,25 - 0,75y = 15$$ $$0,05y = 15 - 14,25$$ $$0,05y = 0,75 \implies y = \frac{0,75}{0,05} = 15$$ Ahora calculamos $z$: $$z = 19 - 15 = 4$$ Ya tenemos los tres precios iniciales. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Libro: } 38\text{ €}, \text{ Calculadora: } 15\text{ €}, \text{ Estuche: } 4\text{ €}}$$