Distribución Normal: Tiempo de llegada a la universidad

**a) (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que tarde menos de 40 minutos en llegar a la universidad?** En primer lugar, definimos la variable aleatoria $X$ como el tiempo (en minutos) que el estudiante tarda en llegar a la universidad. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(30, 5)$$ Para calcular probabilidades en una normal distinta a la estándar, debemos **tipificar** la variable utilizando la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$, donde $Z \sim N(0, 1)$. Queremos hallar $P(X \lt 40)$: $$P(X \lt 40) = P\left(Z \lt \frac{40 - 30}{5}\right) = P\left(Z \lt \frac{10}{5}\right) = P(Z \lt 2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar nos permite usar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$ para cualquier distribución normal.

Buscamos el valor de la probabilidad para $Z \lt 2$ en la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$: Consultando la tabla para $z = 2,00$, obtenemos: $$P(Z \lt 2) = 0,9772$$ Por lo tanto, la probabilidad de que tarde menos de 40 minutos es del **97,72%**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \lt 40) = 0,9772}$$

**b) (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que tarde entre 20 y 40 minutos?** Se pide calcular $P(20 \lt X \lt 40)$. Procedemos a tipificar ambos límites del intervalo: $$P(20 \lt X \lt 40) = P\left(\frac{20 - 30}{5} \lt Z \lt \frac{40 - 30}{5}\right)$$ $$P(-2 \lt Z \lt 2)$$ Utilizando las propiedades de la simetría de la normal: $$P(-2 \lt Z \lt 2) = P(Z \lt 2) - P(Z \lt -2)$$ $$P(Z \lt 2) - [1 - P(Z \lt 2)] = 2 \cdot P(Z \lt 2) - 1$$ Sustituimos el valor obtenido anteriormente: $$2 \cdot 0,9772 - 1 = 1,9544 - 1 = 0,9544$$ 💡 **Tip:** Para un intervalo simétrico $P(-k \lt Z \lt k)$, la fórmula directa es $2 \cdot P(Z \lt k) - 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(20 \lt X \lt 40) = 0,9544}$$

**c) (0,5 puntos) El estudiante, un día al salir de su casa, comprueba que faltan exactamente 40 minutos para que empiece la clase ¿Cuál es la probabilidad de que llegue tarde a clase?** Si la clase empieza en 40 minutos, el estudiante llegará tarde si tarda **más de 40 minutos** en el trayecto. Por tanto, debemos calcular $P(X \gt 40)$. Usamos la propiedad del suceso contrario: $$P(X \gt 40) = 1 - P(X \le 40)$$ Como ya hemos calculado $P(X \lt 40)$ en el apartado (a) (en distribuciones continuas $P(X \le 40) = P(X \lt 40)$), simplemente restamos: $$P(X \gt 40) = 1 - 0,9772 = 0,0228$$ 💡 **Tip:** En variables aleatorias continuas, la probabilidad de un punto exacto es cero, por lo que usar $\lt$ o $\le$ es indistinto para el cálculo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 40) = 0,0228}$$