Cálculo de una integral indefinida por partes

Para resolver la integral $\int x^3 e^{x^2} dx$, observamos que el exponente de la exponencial es $x^2$. Su derivada es $2x$, lo cual sugiere que podemos separar el factor $x^3$ para facilitar la integración. Reescribimos la integral de la siguiente forma: $$\int x^3 e^{x^2} dx = \int x^2 \cdot (x e^{x^2}) dx$$ De esta manera, tenemos un producto de dos funciones donde una de ellas ($x^2$) es fácil de derivar y la otra ($x e^{x^2}$) es una integral casi inmediata. 💡 **Tip:** En integrales de tipo polinómico por exponencial como $P(x)e^{ax}$, solemos usar integración por partes. Si el exponente no es lineal, intentamos que $dv$ contenga la derivada de dicho exponente.

Aplicaremos el método de **integración por partes**, que sigue la fórmula: $$\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du$$ Elegimos las partes convenientemente: - Sea $u = x^2 \implies du = 2x \, dx$ - Sea $dv = x e^{x^2} \, dx \implies v = \int x e^{x^2} \, dx$ Para calcular $v$, recordamos la fórmula de la integral de una función exponencial compuesta: $$\int f'(x) e^{f(x)} dx = e^{f(x)} + C$$ En nuestro caso, la derivada de $x^2$ es $2x$. Ajustamos la integral multiplicando y dividiendo por $2$: $$v = \int x e^{x^2} dx = \frac{1}{2} \int 2x e^{x^2} dx = \frac{1}{2} e^{x^2}$$ 💡 **Tip:** No olvides que para integrar $xe^{x^2}$ necesitas que aparezca la derivada del exponente ($2x$) multiplicando. Por eso añadimos el factor $1/2$ fuera de la integral.

Sustituimos $u, du, v$ y $dv$ en la fórmula de integración por partes: $$\int x^2 (x e^{x^2}) dx = x^2 \cdot \left( \frac{1}{2} e^{x^2} \right) - \int \frac{1}{2} e^{x^2} \cdot (2x) \, dx$$ Simplificamos los términos dentro y fuera de la integral: $$\frac{1}{2} x^2 e^{x^2} - \int x e^{x^2} dx$$ Observamos que la nueva integral $\int x e^{x^2} dx$ es exactamente la misma que calculamos para hallar $v$ en el paso anterior.

Resolvemos la integral restante: $$\int x e^{x^2} dx = \frac{1}{2} e^{x^2}$$ Sustituimos este resultado en nuestra expresión: $$\frac{1}{2} x^2 e^{x^2} - \frac{1}{2} e^{x^2} + C$$ Para presentar el resultado de forma más elegante, podemos extraer factor común $\frac{1}{2} e^{x^2}$: $$\frac{1}{2} e^{x^2} (x^2 - 1) + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int x^3 e^{x^2} dx = \frac{1}{2} e^{x^2} (x^2 - 1) + C}$$ 💡 **Tip:** Siempre que termines una integral indefinida, añade la constante de integración $C$ y, si es posible, simplifica factorizando la expresión resultante.