Dominio y monotonía de una función con logaritmos

**a) (0,25 puntos) Calcule el dominio de $f(x)$.** La función $f(x) = \frac{-x^2}{2} + 2\ln(x + 1)$ está compuesta por un polinomio (definido en todo $\mathbb{R}$) y una función logarítmica. Para que la función logarítmica esté definida, su argumento debe ser estrictamente mayor que cero: $$x + 1 \gt 0 \implies x \gt -1$$ Por lo tanto, el dominio de la función son todos los números reales mayores que $-1$. 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln(g(x))$ solo existe si $g(x) \gt 0$. Los polinomios no restringen el dominio, pero los logaritmos y las raíces de índice par sí. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dom}(f) = (-1, +\infty)}$$

**b) (1,75 puntos) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento** Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento), primero calculamos la derivada de la función $f(x)$. Derivamos cada término por separado: - La derivada de $\frac{-x^2}{2}$ es $-x$. - La derivada de $2\ln(x + 1)$ es $2 \cdot \frac{1}{x + 1}$. $$f'(x) = -x + \frac{2}{x + 1}$$ Para trabajar mejor con el signo de la derivada, unificamos en una sola fracción: $$f'(x) = \frac{-x(x + 1) + 2}{x + 1} = \frac{-x^2 - x + 2}{x + 1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla de la cadena para el logaritmo: $[\ln(u)]' = \frac{u'}{u}$.

Los puntos críticos son aquellos donde $f'(x) = 0$ o donde la derivada no existe (dentro del dominio). Igualamos el numerador a cero: $$-x^2 - x + 2 = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos dos valores: 1. $x = \frac{2}{2} = 1$ 2. $x = \frac{-4}{2} = -2$ **Análisis de validez:** - $x = 1$ pertenece al dominio $(-1, +\infty)$. - $x = -2$ **no** pertenece al dominio, por lo que lo descartamos para el estudio de la monotonía. $$\boxed{x = 1 \text{ es el único punto crítico en el dominio}}$$

Dividimos el dominio $(-1, +\infty)$ en intervalos usando el punto crítico $x = 1$ y evaluamos el signo de $f'(x) = \frac{-x^2 - x + 2}{x + 1}$. Notamos que para cualquier $x$ en el dominio ($x \gt -1$), el denominador $x + 1$ siempre es positivo, por lo que el signo de $f'(x)$ depende solo del numerador. $$\begin{array}{c|ccc} x & (-1, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - En el intervalo $(-1, 1)$, tomamos $x = 0$: $f'(0) = \frac{2}{1} = 2 \gt 0 \implies$ **Creciente**. - En el intervalo $(1, +\infty)$, tomamos $x = 2$: $f'(2) = \frac{-4 - 2 + 2}{3} = -\frac{4}{3} \lt 0 \implies$ **Decreciente**. 💡 **Tip:** Siempre verifica que los intervalos que propongas estén contenidos dentro del dominio de la función. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Crecimiento: } (-1, 1) \\ &\text{Decrecimiento: } (1, +\infty) \end{aligned}}$$