Optimización de la longitud de un campo de juego

Para resolver este problema de optimización, primero identificamos las partes que componen el campo de juego basándonos en el enunciado y las variables dadas: 1. **Rectángulo central:** Tiene una base $y$ y una altura $x$. 2. **Partes laterales:** Son dos semicircunferencias cuyo diámetro coincide con la altura del rectángulo ($x$). Por tanto, su radio es $R = \frac{x}{2}$. Juntas, las dos semicircunferencias forman un círculo completo de radio $R = \frac{x}{2}$. 💡 **Tip:** En problemas de optimización con geometría, el primer paso siempre es dibujar el esquema y expresar todas las áreas y perímetros en función de las variables principales.

El enunciado indica que la superficie total $S$ debe ser de $4 + \pi$ m$^2$. Calculamos la superficie total como la suma del área del rectángulo y el área de las dos semicircunferencias (un círculo): $$S = \text{Área del rectángulo} + \text{Área del círculo}$$ $$S = x \cdot y + \pi \cdot R^2 = xy + \pi \left( \frac{x}{2} \right)^2 = xy + \frac{\pi x^2}{4}$$ Igualamos a la superficie dada: $$xy + \frac{\pi x^2}{4} = 4 + \pi$$ Despejamos $y$ para poder expresar la función a optimizar en términos de una sola variable ($x$): $$xy = 4 + \pi - \frac{\pi x^2}{4}$$ $$y = \frac{4 + \pi}{x} - \frac{\pi x}{4}$$ $$\boxed{y = \frac{4 + \pi}{x} - \frac{\pi x}{4}}$$

Queremos minimizar la cantidad de pintura, lo que equivale a minimizar la longitud total $L$. Esta longitud incluye: 1. **El perímetro exterior:** Dos lados horizontales del rectángulo ($2y$) y las dos semicircunferencias (una circunferencia completa: $2\pi R$). 2. **Las rayas interiores:** Las dos alturas del rectángulo ($2x$). $$L = (2y + 2\pi R) + 2x$$ Como $R = \frac{x}{2}$, sustituimos: $$L = 2y + \pi x + 2x = 2y + (\pi + 2)x$$ Sustituimos la expresión de $y$ obtenida anteriormente: $$L(x) = 2 \left( \frac{4 + \pi}{x} - \frac{\pi x}{4} \right) + (\pi + 2)x$$ $$L(x) = \frac{2(4 + \pi)}{x} - \frac{\pi x}{2} + \pi x + 2x$$ Simplificando los términos con $x$: $$L(x) = \frac{2(4 + \pi)}{x} + \left( \frac{\pi}{2} + 2 \right)x$$ 💡 **Tip:** Simplifica la función al máximo antes de derivar para facilitar los cálculos posteriores.

Calculamos la derivada $L'(x)$ e igualamos a cero para hallar los puntos críticos: $$L'(x) = -\frac{2(4 + \pi)}{x^2} + \left( \frac{\pi}{2} + 2 \right)$$ $$L'(x) = -\frac{2(4 + \pi)}{x^2} + \frac{\pi + 4}{2}$$ Buscamos $L'(x) = 0$: $$\frac{\pi + 4}{2} = \frac{2(4 + \pi)}{x^2}$$ Podemos simplificar $(4 + \pi)$ en ambos lados (ya que es distinto de cero): $$\frac{1}{2} = \frac{2}{x^2} \implies x^2 = 4 \implies x = 2$$ (Descartamos $x = -2$ porque las dimensiones deben ser positivas). 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\frac{k}{x}$ es $-\frac{k}{x^2}$.

Para confirmar que $x = 2$ es un mínimo, usamos la segunda derivada: $$L''(x) = \frac{4(4 + \pi)}{x^3}$$ Para $x = 2$, $L''(2) = \frac{4(4 + \pi)}{8} > 0$. Al ser positiva, confirmamos que se trata de un **mínimo relativo**. Ahora calculamos el valor de $y$ sustituyendo $x = 2$ en la restricción: $$y = \frac{4 + \pi}{2} - \frac{\pi \cdot 2}{4} = \frac{4 + \pi}{2} - \frac{\pi}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ Por tanto, las dimensiones que minimizan la longitud son: $$\boxed{x = 2 \text{ m, } y = 2 \text{ m}}$$ Ambas dimensiones son positivas, por lo que la solución es físicamente válida.