Límite de una función con indeterminación uno elevado a infinito

**5) Calcule el siguiente límite $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{2/\text{tg}(x)}$.** Primero, evaluamos el límite sustituyendo $x=0$ para ver si existe una indeterminación: $$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{2/\text{tg}(x)} = (1 + 0)^{2/\text{tg}(0)} = 1^{2/0} = 1^{\infty}$$ Se trata de una **indeterminación de la forma $1^{\infty}$**. 💡 **Tip:** Cuando nos encontramos con un límite del tipo $\lim f(x)^{g(x)}$ que resulta en $1^{\infty}$, podemos resolverlo usando la propiedad: $$\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} [g(x) \cdot (f(x) - 1)]}$$

Aplicamos la fórmula para resolver la indeterminación $1^{\infty}$: $$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{2/\text{tg}(x)} = e^{\lim_{x \to 0} \left[ \frac{2}{\text{tg}(x)} \cdot (1 + x - 1) \right]}$$ Simplificamos la expresión del exponente: $$\lim_{x \to 0} \frac{2}{\text{tg}(x)} \cdot x = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\text{tg}(x)}$$ Ahora calculamos el límite del exponente por separado: $$L = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\text{tg}(x)}$$ Si evaluamos, obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, por lo que podemos aplicar la **Regla de L'Hôpital**. 💡 **Tip:** La Regla de L'Hôpital dice que si $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, entonces el límite es igual a $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ siempre que este último exista.

Derivamos el numerador y el denominador para resolver $L = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\text{tg}(x)}$: - Derivada del numerador: $(2x)' = 2$ - Derivada del denominador: $(\text{tg}(x))' = 1 + \text{tg}^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$ Aplicamos L'Hôpital: $$L = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\text{tg}(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{1}{\cos^2(x)}} = \lim_{x \to 0} 2 \cos^2(x)$$ Evaluamos el límite sustituyendo $x=0$: $$L = 2 \cos^2(0) = 2 \cdot 1^2 = 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\cos(0) = 1$. También podrías haber usado que para valores muy pequeños de $x$, $\text{tg}(x) \approx x$, lo cual confirmaría que el límite tiende a 2.

Una vez hallado el límite del exponente ($L=2$), volvemos a la expresión original en base $e$: $$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{2/\text{tg}(x)} = e^L = e^2$$ Por tanto, el valor del límite es $e^2$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{e^2}$$