Ecuación del plano que contiene a una recta y es perpendicular a otro plano

Para hallar el plano $\alpha$ solicitado, necesitamos identificar los elementos que lo definen: 1. **Un punto** $P$: Como el plano contiene a la recta $r$, cualquier punto de $r$ pertenecerá al plano. 2. **Dos vectores directores** $\vec{u}$ y $\vec{v}$ (o un vector normal $\vec{n_\alpha}$): * Como $r \subset \alpha$, el vector director de la recta $\vec{d_r}$ será un vector director del plano. * Como $\alpha \perp \pi$, el vector normal del plano $\pi$, llamado $\vec{n_\pi}$, será paralelo al plano $\alpha$, sirviendo como su segundo vector director. 💡 **Tip:** Un plano que es perpendicular a otro plano hereda el vector normal de este último como uno de sus vectores directores.

La recta $r$ viene dada por la intersección de dos planos. Su vector director $\vec{d_r}$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $\vec{n_1} = (3, 1, -4)$ $\vec{n_2} = (2, 1, -1)$ $$\vec{d_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 1 & -4 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{d_r} = \vec{i}(1 \cdot (-1) - (-4) \cdot 1) - \vec{j}(3 \cdot (-1) - (-4) \cdot 2) + \vec{k}(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2)$$ $$\vec{d_r} = \vec{i}(-1 + 4) - \vec{j}(-3 + 8) + \vec{k}(3 - 2) = (3, -5, 1)$$ Ahora buscamos un punto $P_r \in r$. Asignamos $z=0$ en el sistema de la recta: $$\begin{cases} 3x + y = -1 \\ 2x + y = -2 \end{cases}$$ Restando las ecuaciones: $(3x - 2x) + (y - y) = -1 - (-2) \implies x = 1$. Sustituyendo $x=1$ en la segunda ecuación: $2(1) + y = -2 \implies y = -4$. Por tanto, el punto es $P_r(1, -4, 0)$. $$\boxed{P_r(1, -4, 0), \quad \vec{d_r}=(3, -5, 1)}$$

El plano $\alpha$ que buscamos tiene como vectores directores: 1. El vector director de la recta: $\vec{u} = \vec{d_r} = (3, -5, 1)$. 2. El vector normal del plano $\pi: 2x - y + 3z - 1 = 0$, que es $\vec{v} = \vec{n_\pi} = (2, -1, 3)$. Contiene al punto $P_r(1, -4, 0)$. 💡 **Tip:** Recuerda que si un plano es perpendicular a otro, sus vectores normales son perpendiculares entre sí, lo que implica que el vector normal de uno es vector director del otro.

La ecuación general del plano se obtiene mediante el determinante formado por un punto genérico $X(x, y, z)$, el punto $P_r$ y los dos vectores directores: $$\begin{vmatrix} x - x_P & y - y_P & z - z_P \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} x - 1 & y + 4 & z \\ 3 & -5 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante: $$(x - 1) \begin{vmatrix} -5 & 1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} - (y + 4) \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} + z \begin{vmatrix} 3 & -5 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x - 1)(-15 - (-1)) - (y + 4)(9 - 2) + z(-3 - (-10)) = 0$$ $$(x - 1)(-14) - (y + 4)(7) + z(7) = 0$$ $$-14x + 14 - 7y - 28 + 7z = 0$$ $$-14x - 7y + 7z - 14 = 0$$ Simplificamos dividiendo toda la ecuación entre $-7$: $$2x + y - z + 2 = 0$$ Curiosamente, el plano buscado coincide con uno de los planos que definía la recta $r$ en el enunciado. Comprobamos que este plano es perpendicular a $\pi$ verificando el producto escalar de sus normales: $(2, 1, -1) \cdot (2, -1, 3) = 4 - 1 - 3 = 0$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{2x + y - z + 2 = 0}$$