Resolución de ecuación matricial con transpuesta

**3) Resuelva la ecuación matricial $XA + XA^t = B$, siendo $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}$** En primer lugar, observamos que en el término de la izquierda de la ecuación $XA + XA^t = B$, la matriz $X$ multiplica por la izquierda a ambas matrices. Podemos aplicar la propiedad distributiva del producto de matrices para extraer factor común: $$X(A + A^t) = B$$ Llamaremos $C$ a la matriz resultante de la suma $A + A^t$. La ecuación queda como: $$X \cdot C = B$$ Si la matriz $C$ es invertible, podremos despejar $X$ multiplicando por la inversa de $C$ por la derecha en ambos lados: $$X \cdot C \cdot C^{-1} = B \cdot C^{-1} \implies X = B \cdot C^{-1}$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden del producto es fundamental. Como la matriz $C$ está a la derecha de $X$, su inversa $C^{-1}$ debe aparecer también a la derecha de $B$.

Calculamos primero la transpuesta de $A$ (intercambiando filas por columnas): $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \implies A^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora sumamos ambas matrices para obtener $C$: $$C = A + A^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+1 & -1+0 & 0-1 \\ 0-1 & 1+1 & 2-1 \\ -1+0 & -1+2 & 0+0 \end{pmatrix}$$ $$C = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Como se puede observar, $C$ es una matriz simétrica.

Para comprobar si $C$ tiene inversa, calculamos su determinante mediante la regla de Sarrus: $$|C| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$|C| = (2 \cdot 2 \cdot 0) + (-1 \cdot 1 \cdot -1) + (-1 \cdot -1 \cdot 1) - [(-1 \cdot 2 \cdot -1) + (1 \cdot 1 \cdot 2) + (0 \cdot -1 \cdot -1)]$$ $$|C| = (0 + 1 + 1) - (2 + 2 + 0) = 2 - 4 = -2$$ Como $|C| = -2 \neq 0$, la matriz **$C$ es invertible** y podemos calcular $C^{-1}$.

Utilizamos la fórmula: $C^{-1} = \dfrac{1}{|C|} \cdot [Adj(C)]^t$. Calculamos los adjuntos de los elementos de $C$: - $C_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ - $C_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = -(1) = -1$ - $C_{13} = +\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -1 - (-2) = 1$ - $C_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(1) = -1$ - $C_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ - $C_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -(2-1) = -1$ - $C_{31} = +\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1 - (-2) = 1$ - $C_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -(2-1) = -1$ - $C_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 4-1 = 3$ La matriz adjunta es: $$Adj(C) = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$ Como $C$ era simétrica, su adjunta también lo es, por lo que $Adj(C)^t = Adj(C)$. Entonces: $$C^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$

Finalmente, calculamos $X = B \cdot C^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \left[ \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \right]$$ $$X = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0( -1)+1(-1)+(-1)(1) & 0(-1)+1(-1)+(-1)(-1) & 0(1)+1(-1)+(-1)(3) \\ 3(-1)+0(-1)+(-1)(1) & 3(-1)+0(-1)+(-1)(-1) & 3(1)+0(-1)+(-1)(3) \end{pmatrix}$$ $$X = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 - 1 - 1 & 0 - 1 + 1 & 0 - 1 - 3 \\ -3 + 0 - 1 & -3 + 0 + 1 & 3 + 0 - 3 \end{pmatrix}$$ $$X = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -2 & 0 & -4 \\ -4 & -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}}$$