Sistema de ecuaciones: Precio de mascarillas

Para resolver este problema de contexto, el primer paso es definir las variables que representan los precios unitarios de cada tipo de mascarilla: - Sea $x$ el precio en euros de una mascarilla **quirúrgica desechable**. - Sea $y$ el precio en euros de una mascarilla **higiénica**. - Sea $z$ el precio en euros de una mascarilla **quirúrgica reutilizable**. 💡 **Tip:** Definir claramente qué representa cada variable con sus unidades correspondientes (€/unidad) ayuda a no cometer errores al plantear las ecuaciones y al interpretar el resultado final.

Traducimos el enunciado a lenguaje algebraico: 1. El precio medio de las 3 mascarillas es de $0.90 \, €$: $$\frac{x + y + z}{3} = 0.90 \implies x + y + z = 2.70$$ 2. El primer cliente compra 30 desechables, 20 higiénicas y 10 reutilizables por $56 \, €$: $$30x + 20y + 10z = 56$$ Dividiendo entre 10 para simplificar: $3x + 2y + z = 5.6$. 3. El segundo cliente compra 20 desechables y 25 reutilizables por $31 \, €$: $$20x + 25z = 31$$ Dividiendo entre 5 para simplificar: $4x + 5z = 6.2$. El sistema resultante es: $$\begin{cases} x + y + z = 2.7 \\ 3x + 2y + z = 5.6 \\ 4x + 5z = 6.2 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Simplificar las ecuaciones (dividiendo por el máximo común divisor de los coeficientes) reduce la probabilidad de errores de cálculo en los pasos siguientes.

Utilizaremos el método de sustitución o reducción para hallar los valores. De la primera ecuación despejamos $y$: $$y = 2.7 - x - z$$ Sustituimos $y$ en la segunda ecuación: $$3x + 2(2.7 - x - z) + z = 5.6$$ $$3x + 5.4 - 2x - 2z + z = 5.6$$ $$x - z = 5.6 - 5.4 \implies x - z = 0.2 \implies x = z + 0.2$$ Ahora sustituimos esta expresión de $x$ en la tercera ecuación: $$4(z + 0.2) + 5z = 6.2$$ $$4z + 0.8 + 5z = 6.2$$ $$9z = 6.2 - 0.8 \implies 9z = 5.4$$ $$z = \frac{5.4}{9} = 0.6$$ Calculamos ahora el resto de valores: - $x = 0.6 + 0.2 = 0.8$ - $y = 2.7 - 0.8 - 0.6 = 1.3$ 💡 **Tip:** Al trabajar con decimales, mantén la precisión necesaria. En este caso, al ser euros, trabajamos con dos decimales para mayor claridad.

Una vez obtenidos los valores de las incógnitas, los traducimos de nuevo al contexto del problema: - Precio de la mascarilla **quirúrgica desechable ($x$)**: $0.80 \, €$ - Precio de la mascarilla **higiénica ($y$)**: $1.30 \, €$ - Precio de la mascarilla **quirúrgica reutilizable ($z$)**: $0.60 \, €$ Comprobamos que se cumplen las condiciones: - Media: $(0.8 + 1.3 + 0.6)/3 = 2.7/3 = 0.90$ (Correcto). - Cliente 1: $30(0.8) + 20(1.3) + 10(0.6) = 24 + 26 + 6 = 56$ (Correcto). - Cliente 2: $20(0.8) + 25(0.6) = 16 + 15 = 31$ (Correcto). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Desechable: } 0.80 \, €, \text{ Higiénica: } 1.30 \, €, \text{ Reutilizable: } 0.60 \, €}$$