Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) (1,25 puntos) Discuta el sistema $AX = b$ según los valores del parámetro $a$** El sistema de ecuaciones lineales $AX = b$ puede expresarse mediante la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$, que incluye la columna de términos independientes $b$: $$A = \begin{pmatrix} a - 3 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & -2 \\ -1 & a & 2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a - 3 & 0 & 4 & 2 \\ 1 & 0 & -2 & -1 \\ -1 & a & 2 & a \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, calculamos primero el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a - 3 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & -2 \\ -1 & a & 2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(a-3) \cdot 0 \cdot 2 + 0 \cdot (-2) \cdot (-1) + 4 \cdot 1 \cdot a] - [4 \cdot 0 \cdot (-1) + (a-3) \cdot (-2) \cdot a + 0 \cdot 1 \cdot 2]$$ $$|A| = [0 + 0 + 4a] - [0 - 2a(a-3) + 0]$$ $$|A| = 4a + 2a^2 - 6a = 2a^2 - 2a$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$2a^2 - 2a = 0 \implies 2a(a - 1) = 0$$ Los valores que anulan el determinante son **$a = 0$** y **$a = 1$**. 💡 **Tip:** El determinante de $A$ nos permite conocer cuándo el rango de la matriz es máximo. Si $|A| \neq 0$, entonces $\text{rang}(A) = 3$.

Si $a \neq 0$ y $a \neq 1$, entonces el determinante de $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). En este caso: - $\text{rang}(A) = 3$ - $\text{rang}(A^*) = 3$ (ya que no puede ser mayor que el número de filas o columnas) - Número de incógnitas $n = 3$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = n = 3$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Sustituimos $a = 0$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -3 & 0 & 4 & 2 \\ 1 & 0 & -2 & -1 \\ -1 & 0 & 2 & 0 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rang}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} -3 & 4 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 6 - 4 = 2 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ tomando las columnas 1, 3 y 4 (términos independientes): $$\begin{vmatrix} -3 & 4 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = [0 + 4 + 4] - [4 + 6 + 0] = 8 - 10 = -2 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 distinto de cero en $A^*$, $\text{rang}(A^*) = 3$. Comparando rangos: - $\text{rang}(A) = 2$ - $\text{rang}(A^*) = 3$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 0, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$

Sustituimos $a = 1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 0 & 4 & 2 \\ 1 & 0 & -2 & -1 \\ -1 & 1 & 2 & 1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Analizamos el rango de $A^*$. Observamos que la fila 1 es proporcional a la fila 2 ($F_1 = -2F_2$), por lo que cualquier determinante de orden 3 que incluya a ambas será cero. Comprobamos el menor formado por las columnas 2, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} 0 & 4 & 2 \\ 0 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-4 - (-4)) = 0$$ Por tanto, no existen menores de orden 3 no nulos en $A^*$, luego $\text{rang}(A^*) = 2$. Comparando rangos: - $\text{rang}(A) = 2$ - $\text{rang}(A^*) = 2$ - Número de incógnitas $n = 3$ Como $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 \lt n$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 1, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

**b) (0,75 puntos) Resuelva el sistema cuando $a = 1$** Como vimos en el apartado anterior, para $a = 1$ el sistema es Compatible Indeterminado con $\text{rang}(A) = 2$. Usamos las dos últimas ecuaciones, que son linealmente independientes (la primera era $F_1 = -2F_2$): $$\begin{cases} x - 2z = -1 \\ -x + y + 2z = 1 \end{cases}$$ Como el rango es 2, necesitamos un parámetro. Sea **$z = \lambda$**, donde $\lambda \in \mathbb{R}$. 1. De la primera ecuación, despejamos $x$: $$x = 2z - 1 = 2\lambda - 1$$ 2. De la segunda ecuación, sustituimos $x$ y $z$ para despejar $y$: $$- (2\lambda - 1) + y + 2\lambda = 1$$ $$-2\lambda + 1 + y + 2\lambda = 1$$ $$y + 1 = 1 \implies y = 0$$ 💡 **Tip:** En un sistema SCI, el número de parámetros necesarios es $n - \text{rang}(A)$. Aquí $3 - 2 = 1$ parámetro. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = 0 \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$