Distribución Binomial: Abandono de estudios universitarios

**a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que uno o ninguno de dichos estudiantes abandonen sus estudios? (No es preciso finalizar los cálculos, puede dejarse indicada la probabilidad, precisando y desarrollando los números y operaciones básicas que la definen, pero sin hacer los cálculos finales).** En primer lugar, definimos la variable aleatoria $X$ que cuenta el número de estudiantes que abandonan sus estudios de entre un grupo seleccionado. Estamos ante una **distribución Binomial** porque: 1. Solo hay dos resultados posibles: abandona (éxito en nuestro estudio) o no abandona (fracaso). 2. La probabilidad de éxito es constante para cada estudiante: $p = \dfrac{1}{5} = 0.2$. 3. La probabilidad de fracaso es $q = 1 - p = 0.8$. 4. Las selecciones son independientes y el número de ensayos es fijo: $n = 5$. Por tanto: $$X \sim B(5, \, 0.2)$$ 💡 **Tip:** La fórmula de la probabilidad para una distribución Binomial $B(n, p)$ es: $$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ donde $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ son los números combinatorios.

Se nos pide la probabilidad de que uno o ninguno abandonen, es decir, $P(X \le 1)$. Esto equivale a la suma de las probabilidades individuales: $$P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$$ Aplicamos la fórmula de la Binomial para cada caso: - Para $k = 0$: $$P(X = 0) = \binom{5}{0} \cdot (0.2)^0 \cdot (0.8)^5$$ - Para $k = 1$: $$P(X = 1) = \binom{5}{1} \cdot (0.2)^1 \cdot (0.8)^4$$ Sumamos ambas expresiones desarrollando los números combinatorios: $$P(X \le 1) = \frac{5!}{0!5!} \cdot (0.2)^0 \cdot (0.8)^5 + \frac{5!}{1!4!} \cdot (0.2)^1 \cdot (0.8)^4$$ $$P(X \le 1) = 1 \cdot 1 \cdot (0.8)^5 + 5 \cdot (0.2) \cdot (0.8)^4$$ Siguiendo las instrucciones del enunciado, dejamos la operación indicada sin realizar el cálculo final. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \le 1) = (0.8)^5 + 5 \cdot (0.2) \cdot (0.8)^4}$$

**b) (1 punto) ¿Qué es más probable, que todos abandonen sus estudios, o que ninguno lo haga? Razone la respuesta de modo numérico.** Debemos comparar $P(X = 5)$ (todos abandonan) con $P(X = 0)$ (ninguno abandona). 1. **Cálculo de $P(X = 5)$:** $$P(X = 5) = \binom{5}{5} \cdot (0.2)^5 \cdot (0.8)^0 = 1 \cdot (0.2)^5 \cdot 1 = (0.2)^5$$ $$P(X = 5) = 0.00032$$ 2. **Cálculo de $P(X = 0)$:** $$P(X = 0) = \binom{5}{0} \cdot (0.2)^0 \cdot (0.8)^5 = 1 \cdot 1 \cdot (0.8)^5 = (0.8)^5$$ $$P(X = 0) = 0.32768$$ Comparando los resultados: $$0.32768 > 0.00032 \implies P(X = 0) > P(X = 5)$$ Esto tiene sentido lógico, ya que la probabilidad de abandonar ($0.2$) es mucho menor que la de no hacerlo ($0.8$). Al elevar un número menor que 1 a una potencia, cuanto menor sea la base, menor es el resultado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Es más probable que ninguno abandone los estudios.}}$$