Cálculo de una integral indefinida por partes

Para resolver la integral $\int \sqrt{x} \ln^2 x \, dx$, observamos que es el producto de una función algebraica $(\sqrt{x})$ y una función logarítmica elevada al cuadrado $(\ln^2 x)$. El método más adecuado es la **integración por partes**. Siguiendo la regla nemotécnica **LIATE** (Logarítmicas, Inversas, Algebráicas, Trigonométricas, Exponenciales), elegimos: - $u = \ln^2 x$ (logarítmica) - $dv = \sqrt{x} \, dx = x^{1/2} \, dx$ (algebraica) Calculamos ahora $du$ y $v$: - $du = 2 \ln x \cdot \dfrac{1}{x} dx = \dfrac{2 \ln x}{x} dx$ - $v = \int x^{1/2} dx = \dfrac{x^{3/2}}{3/2} = \dfrac{2}{3}x^{3/2}$ 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Aplicamos la fórmula con los valores obtenidos: $$\int \sqrt{x} \ln^2 x \, dx = \left( \ln^2 x \right) \left( \frac{2}{3}x^{3/2} \right) - \int \frac{2}{3}x^{3/2} \cdot \frac{2 \ln x}{x} dx$$ Simplificamos la expresión dentro de la integral: $$\int \sqrt{x} \ln^2 x \, dx = \frac{2}{3}x^{3/2} \ln^2 x - \int \frac{4}{3} x^{3/2-1} \ln x \, dx$$ $$\int \sqrt{x} \ln^2 x \, dx = \frac{2}{3}x^{3/2} \ln^2 x - \frac{4}{3} \int x^{1/2} \ln x \, dx$$ Como vemos, la nueva integral resultante $\int x^{1/2} \ln x \, dx$ sigue siendo un producto de una algebraica y una logarítmica, por lo que **debemos aplicar integración por partes una segunda vez**.

Resolvemos la integral secundaria $I_2 = \int x^{1/2} \ln x \, dx$: Elegimos de nuevo: - $u_2 = \ln x \implies du_2 = \dfrac{1}{x} dx$ - $dv_2 = x^{1/2} dx \implies v_2 = \dfrac{2}{3}x^{3/2}$ Aplicamos la fórmula: $$I_2 = \frac{2}{3}x^{3/2} \ln x - \int \frac{2}{3}x^{3/2} \cdot \frac{1}{x} dx$$ $$I_2 = \frac{2}{3}x^{3/2} \ln x - \frac{2}{3} \int x^{1/2} dx$$ Resolvemos la integral inmediata final: $$I_2 = \frac{2}{3}x^{3/2} \ln x - \frac{2}{3} \left( \frac{2}{3}x^{3/2} \right) = \frac{2}{3}x^{3/2} \ln x - \frac{4}{9}x^{3/2}$$ 💡 **Tip:** No olvides que $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ para $n \neq -1$.

Sustituimos el valor de $I_2$ en la expresión del paso 2: $$\int \sqrt{x} \ln^2 x \, dx = \frac{2}{3}x^{3/2} \ln^2 x - \frac{4}{3} \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \ln x - \frac{4}{9}x^{3/2} \right] + C$$ Operamos para quitar los corchetes: $$\int \sqrt{x} \ln^2 x \, dx = \frac{2}{3}x^{3/2} \ln^2 x - \frac{8}{9}x^{3/2} \ln x + \frac{16}{27}x^{3/2} + C$$ Podemos sacar factor común $\frac{2}{3}x^{3/2}$ para presentar la solución de forma más elegante: $$\int \sqrt{x} \ln^2 x \, dx = \frac{2}{3}x^{3/2} \left( \ln^2 x - \frac{4}{3} \ln x + \frac{8}{9} \right) + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \sqrt{x} \ln^2 x \, dx = \frac{2}{3}x^{3/2} \ln^2 x - \frac{8}{9}x^{3/2} \ln x + \frac{16}{27}x^{3/2} + C}$$