Estudio de función logarítmica: dominio, monotonía y recta tangente

**a) (1,25 puntos) Estudie su dominio, así como sus intervalos de crecimiento y decrecimiento** Para que la función logarítmica $f(x) = \ln(2x + 1)$ esté definida, el argumento del logaritmo debe ser estrictamente positivo. Por tanto, debemos imponer la condición: $$2x + 1 \gt 0$$ Resolvemos la inecuación: $$2x \gt -1 \implies x \gt -\frac{1}{2}$$ Así pues, el dominio de la función es el intervalo abierto que va desde $-1/2$ hasta el infinito. 💡 **Recuerda:** El dominio de $y = \ln(u(x))$ son todos los valores de $x$ tales que $u(x) \gt 0$. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \left(-\frac{1}{2}, +\infty\right)}$$

Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, calculamos la primera derivada de la función: $$f'(x) = \frac{(2x + 1)'}{2x + 1} = \frac{2}{2x + 1}$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en el dominio de la función $\left(-\frac{1}{2}, +\infty\right)$: - El numerador ($2$) es siempre positivo. - El denominador ($2x + 1$) es siempre positivo para cualquier $x \gt -1/2$ (por definición del dominio). Por tanto, $f'(x) \gt 0$ para todo $x$ en su dominio. No existen puntos críticos donde $f'(x) = 0$. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|c} x & (-1/2, +\infty) \\ \hline f'(x) & + \\ \hline f(x) & \nearrow (\text{Creciente}) \end{array}$$ Como la derivada es siempre positiva, la función es estrictamente creciente en todo su dominio. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en } \left(-\frac{1}{2}, +\infty\right). \text{ No tiene intervalos de decrecimiento.}}$$

**b) (0,75 puntos) Halle la ecuación de la recta tangente a $f(x)$ en el punto de abscisa $x = \frac{1}{2}$** Necesitamos hallar la ordenada del punto ($y_0$) y la pendiente de la recta tangente ($m$). 1. **Ordenada del punto:** Evaluamos la función en $x = 1/2$: $$f\left(\frac{1}{2}\right) = \ln\left(2 \cdot \frac{1}{2} + 1\right) = \ln(1 + 1) = \ln(2)$$ El punto de tangencia es $P\left(\frac{1}{2}, \ln(2)\right)$. 2. **Pendiente de la recta:** Evaluamos la derivada en $x = 1/2$: $$m = f'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2}{2 \cdot \frac{1}{2} + 1} = \frac{2}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto de abscisa $a$ es siempre el valor de la derivada en dicho punto, $f'(a)$.

Utilizamos la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ Sustituimos los valores obtenidos ($a = 1/2$, $f(a) = \ln(2)$, $f'(a) = 1$): $$y - \ln(2) = 1 \cdot \left(x - \frac{1}{2}\right)$$ Despejando $y$ para obtener la forma explícita: $$y = x - \frac{1}{2} + \ln(2)$$ ✅ **Resultado (Recta tangente):** $$\boxed{y = x - \frac{1}{2} + \ln(2)}$$