Estudio de asíntotas de una función con exponenciales

Para estudiar las asíntotas verticales (AV), primero debemos encontrar los puntos donde la función no está definida, es decir, donde el denominador se anula: $$1 - e^{-x} = 0 \implies e^{-x} = 1 \implies -x = \ln(1) \implies x = 0.$$ El dominio de la función es $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Analizamos el comportamiento de la función mediante el límite cuando $x \to 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1 - e^{-x}} = \frac{0^2}{1 - e^0} = \frac{0}{0}$$ Como obtenemos una indeterminación del tipo $0/0$, aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1 - e^{-x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(x^2)}{\frac{d}{dx}(1 - e^{-x})} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{e^{-x}} = \frac{2(0)}{e^0} = \frac{0}{1} = 0.$$ Al ser el límite un valor finito, no existe una asíntota vertical en $x=0$ (existe una discontinuidad evitable). 💡 **Tip:** Para que exista una asíntota vertical en $x=a$, el límite $\lim_{x \to a} f(x)$ debe ser $\pm\infty$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existen asíntotas verticales}}$$

Las asíntotas horizontales (AH) se calculan analizando los límites de la función cuando $x \to \pm\infty$. **Caso $x \to +\infty$:** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{1 - e^{-x}} = \frac{+\infty}{1 - 0} = +\infty.$$ No hay asíntota horizontal cuando $x \to +\infty$. **Caso $x \to -\infty$:** $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{1 - e^{-x}} = \left[ \frac{+\infty}{1 - e^{+\infty}} \right] = \frac{\infty}{\infty}$$ Aplicamos la regla de L'Hôpital sucesivamente: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{1 - e^{-x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{e^{-x}} = \left[ \frac{-\infty}{\infty} \right]$$ $$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{e^{-x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{-e^{-x}} = \frac{2}{-\infty} = 0.$$ Como el límite es una constante finita, existe una asíntota horizontal por la izquierda. 💡 **Tip:** Recuerda que la función exponencial $e^{-x}$ crece mucho más rápido que cualquier polinomio $x^n$ cuando $x \to -\infty$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{AH: } y = 0 \text{ cuando } x \to -\infty}$$

Puesto que existe una asíntota horizontal cuando $x \to -\infty$, no puede existir una oblicua en esa misma dirección. Por tanto, solo estudiamos la posibilidad de una asíntota oblicua $y = mx + n$ cuando $x \to +\infty$. Calculamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x(1 - e^{-x})} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{1 - e^{-x}} = \frac{+\infty}{1 - 0} = +\infty.$$ Al ser la pendiente $m$ infinita, concluimos que no existe asíntota oblicua por la derecha (la función tiene una rama parabólica). 💡 **Tip:** Una asíntota oblicua $y=mx+n$ requiere que tanto $m$ como $n$ sean valores reales finitos, con $m \neq 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existen asíntotas oblicuas}}$$

Tras el análisis realizado, los resultados son: - **Asíntotas Verticales:** No existen. - **Asíntotas Horizontales:** $y = 0$ (solo para $x \to -\infty$). - **Asíntotas Oblicuas:** No existen. ✅ **Conclusión final:** $$\boxed{\text{Única asíntota: } y = 0 \text{ (horizontal en } -\infty\text{)}}$$