Límite con indeterminación 1 elevado a infinito

**5) Calcule el siguiente límite:. $$\lim_{x o 0^+} ((1 + x - \text{sen}x)^{1/x^3})$$** Primero, evaluamos el límite sustituyendo $x = 0$ para ver si existe una indeterminación: - En la base: $\lim_{x o 0^+} (1 + x - \text{sen}x) = 1 + 0 - \text{sen}(0) = 1$. - En el exponente: $\lim_{x o 0^+} \frac{1}{x^3} = \frac{1}{0^+} = +\infty$. Estamos ante una indeterminación de la forma **$1^{\infty}$**. 💡 **Tip:** Las indeterminaciones del tipo $1^{\infty}$ se resuelven habitualmente utilizando la propiedad: $\lim_{x o a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x o a} g(x) \cdot (f(x) - 1)}$.

Aplicamos la propiedad para transformar el límite exponencial en un límite en el exponente: $$\lim_{x o 0^+} (1 + x - \text{sen}x)^{1/x^3} = e^{L}$$ Donde $L$ es: $$L = \lim_{x o 0^+} \frac{1}{x^3} \cdot ((1 + x - \text{sen}x) - 1)$$ Simplificamos la expresión restando el $1$: $$L = \lim_{x o 0^+} \frac{x - \text{sen}x}{x^3}$$ Si evaluamos este nuevo límite $L$, obtenemos $\frac{0 - \text{sen}(0)}{0^3} = \frac{0}{0}$, que es una indeterminación que podemos resolver mediante la **Regla de L'Hôpital**.

Como tenemos una indeterminación $\frac{0}{0}$ y las funciones son derivables cerca de $0$, derivamos el numerador y el denominador de $L$: $$L = \lim_{x o 0^+} \frac{x - \text{sen}x}{x^3} = \left[ \frac{0}{0} \right] \stackrel{H}{=} \lim_{x o 0^+} \frac{(x - \text{sen}x)'}{(x^3)'}$$ Calculamos las derivadas: - Numerador: $(x - \text{sen}x)' = 1 - \cos x$ - Denominador: $(x^3)' = 3x^2$ Sustituimos: $$L = \lim_{x o 0^+} \frac{1 - \cos x}{3x^2}$$ Evaluamos de nuevo: $\frac{1 - \cos(0)}{3(0)^2} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}$. Volvemos a aplicar L'Hôpital. 💡 **Tip:** La Regla de L'Hôpital se puede aplicar sucesivamente siempre que se mantenga la indeterminación $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ y se cumplan las condiciones de derivabilidad.

Aplicamos L'Hôpital por segunda vez: $$L = \lim_{x o 0^+} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \left[ \frac{0}{0} \right] \stackrel{H}{=} \lim_{x o 0^+} \frac{\text{sen}x}{6x}$$ Evaluamos de nuevo y obtenemos $\frac{0}{0}$. Aplicamos L'Hôpital por tercera vez: $$L = \lim_{x o 0^+} \frac{\text{sen}x}{6x} = \left[ \frac{0}{0} \right] \stackrel{H}{=} \lim_{x o 0^+} \frac{\cos x}{6}$$ Ahora evaluamos el límite final: $$L = \frac{\cos(0)}{6} = \frac{1}{6}$$ 💡 **Tip:** También podrías haber usado el límite notable $\lim_{x o 0} \frac{\text{sen}x}{x} = 1$ en el paso anterior para llegar a $\frac{1}{6} \cdot 1 = \frac{1}{6}$.

Una vez calculado el valor del exponente $L = \frac{1}{6}$, lo sustituimos en nuestra expresión original con la base $e$: $$\lim_{x o 0^+} ((1 + x - \text{sen}x)^{1/x^3}) = e^{1/6} = \sqrt[6]{e}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{e^{1/6}}$$